40.
Точка перегиба графика функции
Точка называется точкой перегиба графика функции , если существует такая окрестность точки оси абсцисс, что слева и справа от точки в пределах этой окрестности график функции лежит по разные стороны от касательной, проведенной в точке .На рисунке 40.1 изображен график функции с двумя точками перегиба.Теорема (необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции имеет перегиб в точке и пусть имеет в точке непрерывную вторую производную. Тогда .Без доказательства.Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из того, что не следует, что точка является точкой перегиба. Например, для функции вторая производная , но в точке перегиба нет.Теорема (1-ое достаточное условие точки перегиба). Пусть дифференцируемая в точке функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки (за исключением, быть может, самой точки ) и вторая производная (или не существует). Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от , то график функции имеет перегиб в точке .Без доказательства.Теорема (2-ое достаточное условие точки перегиба). Пусть функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки , вторая производная и существует . Тогда график функции имеет перегиб в точке .Без доказательства.Пример 1.У функции вторая производная обращается в нуль в точке . Слева и справа от точки вторая производная имеет значения разных знаков, следовательно, по первому достаточному условию точка  — точка перегиба. Кроме того , а значит и по второму достаточному условию точка  — точка перегиба.Пример 2.У функции вторая производная обращается в нуль в точках . Слева и справа от каждой из точек вторая производная имеет значения разных знаков, следовательно, по первому достаточному условию точки  — точки перегиба. Кроме того , а значит и по второму достаточному условию точки  — точки перегиба. Видеолекция «Точка перегиба графика функции»: