41.
Асимптоты графика функции
Прямая называется вертикальной асимптотой к графику функции , если хотя бы один из пределов равен .Прямая называется горизонтальной асимптотой к графику функции при (), если .Прямая называется наклонной асимптотой к графику функции при (), если .Заметим, что горизонтальная асимптота представляет собой частный случай наклонной асимптоты с .Вертикальную асимптоту легко определить, достаточно лишь найти точки , в которых функция обращается в бесконечность. Легко найти и горизонтальную асимптоту, вычислив пределы функции при . Для определения наклонной асимптоты обычно используется следующая теорема.Теорема. Для существования наклонной асимптоты к графику функции при () необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два условия:Доказательство. Докажем необходимость, то есть если  — наклонная асимптота к графику функции при (), то условия 1 и 2 выполняются. Условие 2 следует непосредственно из определения наклонной асимптоты, а условие 1 легко получается при делении на выражения, стоящего под знаком предела в этом определении. Доказательство достаточности проводится аналогично. Теорема доказана.Пример 1.У функции прямые  — вертикальные асимптоты.Действительно, , .Пример 2.У функции прямая  — горизонтальная асимптота при . Действительно, .Пример 3.У функции прямая  — вертикальная асимптота, а прямая  — горизонтальная асимптота при (см. рис. 41.1).Первое утверждение очевидно, так как . Для доказательства второго утверждения запишем . Отсюда видно, что , а значит прямая  — горизонтальная асимптота при .Пример 4.У функции прямые  — наклонные асимптоты при соответственно (см. рис. 41.2).Для доказательства воспользуемся теоремой и посчитаем пределы:,. Видеолекция «Асимптоты графика функции»: