43.
Первообразная
В математике, как впрочем и в других науках, довольно часто наряду с решением прямых задач приходится сталкиваться с обратными задачами. Приведем несколько примеров таких задач.Одной из таких задач является задача интегрального исчисления — отыскание функции по ее производной.Функция называется первообразной для функции на интервале , если для всех выполняется равенство .Пример 1.Для функции первообразной является .Пример 2.Для функции первообразной является .Пример 3.Для функции первообразной является .Пример 4.Для функции первообразной является.Пример 5.Для функции первообразной является .Задача отыскания первообразной решается неоднозначно. А именно, если функция является первообразной к функции , а  — произвольная константа, то очевидно, что функция  — также первообразная к .Покажем, что множество первообразных исчерпывается функциями вида , где  — некоторая первообразная, а  — произвольная константа.Лемма. Если при всех , то при .Доказательство. Возьмем две точки . По формуле Лагранжа: , где . По условию , следовательно, . Ввиду произвольности и функция .Теорема. Если  — первообразная для на интервале , то любая другая первообразная на представима в виде , где  — некоторое число.Доказательство. Пусть  — любая другая первообразная. Тогда , а, следовательно, . По только что доказанной лемме . Теорема доказана. Видеолекция «Первообразная»: