46.
Метод замены переменной
Таблицей интегралов далеко не исчерпываются все возможные интегралы. Поэтому возникает необходимость в эффективных методах интегрирования. Рассмотрим два таких метода: метод замены переменной и метод интегрирования по частям.Теорема (метод замены переменной). Пусть функция определена и дифференцируема на множестве и пусть  — множество всех значений функции. Пусть далее, для существует первообразная , то есть . Тогда всюду на множестве для функции существует первообразная , т.е..Доказательство. Следует из правил дифференцирования сложной функции.Смысл этой теоремы в том, что интеграл сводится к интегралу , который может оказаться легче для вычисления. Эту теорему можно применять и в обратном направлении. При практических вычислениях замену нужно проводить следующим образом: , а , т.е. заменяется не только переменная, но и ее дифференциал.Пример 1..Сделаем замену , ..Пример 2..Сделаем замену , ..Пример 3..Сделаем замену , ..Пример 4..Сделаем замену , ..Пример 5..Преобразуем: . Сделаем замену , .. Видеолекция «Метод замены переменной»: