49.
Определенный интеграл
Рассмотрим на отрезке функцию . Произведем разбиение отрезка точками . На каждом из отрезков возьмем точку . Обозначим длину каждого из отрезков через , причем (см. рис. 49.1). Составим сумму:.Написанное выражение называется интегральной суммой для функции на отрезке для разбиения .Число называется пределом интегральных сумм при , если для любого можно указать такое , что для любого разбиения отрезка такого, что независимо от выбора промежуточных точек на отрезках выполняется неравенство .Обозначают предел интегральных сумм .Функция называется интегрируемой по Риману на отрезке , если существует конечный предел интегральных сумм этой функции при .Указанный предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается . Границы отрезка и называются нижним и верхним пределами интегрирования, соответственно, функция  —подынтегральной функцией.Основные свойства определенного интеграла:Первое, второе, четвертое и пятое свойства непосредственно следуют из определения интеграла как предела интегральных сумм. Остановимся более подробно на третьем свойстве. Пусть . Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка , то будем разбивать так, чтобы точка всегда была точкой разбиения . Тогда всегда можно записать:.Переходя к пределу при , в каждой из интегральных сумм получаем:.Пусть теперь , тогда.Преобразуя, получим:.Доказано, что третье свойство справедливо независимо от взаимного расположения точек , и .Теорема (необходимое условие интегрируемости). Неограниченная на отрезке функция не интегрируема на этом отрезке.Без доказательства.Теорема (достаточное условие интегрируемости). Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем.Без доказательства. Видеолекция «Определенный интеграл»: