50.
Формула Ньютона — Лейбница
Пусть на отрезке задана функция . Интеграл вида , где представляет собой некоторую функцию и называется интегралом с переменным верхним пределом.Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то  — одна из ее первообразных, то есть .Без доказательства.Теорема (основная теорема интегрального исчисления). Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда, если – некоторая ее первообразная на этом отрезке, то справедлива формула (Ньютона–Лейбница):.Доказательство. Пусть  — некоторая первообразная к функции . По предыдущей теореме  — тоже первообразная. Согласно доказанной выше теореме две первообразные могут отличаться только на константу, то есть . Запишем это равенство в точках и :, .Выражая интеграл из второго равенства, и подставляя , получим . Теорема доказана.Замечание. Доказанная теорема сводит вычисление определенного интеграла к неопределенному, свойства и методы вычисления которого нами уже изучены.Пример 1..Пример 2..Пример 3.. Видеолекция «Формула Ньютона — Лейбница»: