53.
Комплексные числа
Для целого ряда практических приложений использование только вещественных чисел оказалось недостаточным. В частности, некоторые весьма простые арифметические операции над вещественными числами выводят нас из области вещественных чисел. Например, извлечение кубического корня (как и любого другого корня нечетной степени) из отрицательного числа дает результат, а извлечение квадратного корня (или любого корня четной степени) оказывается невозможным в области вещественных чисел. Сюда же относится ситуация, что уравнение имеет два вещественных корня, а уравнение  — ни одного. Поэтому и возникла необходимость расширить такое понятие как вещественное число.Комплексным числом  называется упорядоченная пара вещественных чисел .Первое число называется действительной частью комплексного числа и обозначается , второе число — мнимой частью и обозначается .Комплексные числа и равны, если равны их вещественные и мнимые части .Вещественное число представляет собой комплексное число с нулевой мнимой частью, то есть . Комплексное число с нулевой действительной частью называют чисто мнимым, например . Отдельно выделяют число , называемое мнимой единицей. Часто для его обозначения используют символ . Для записи комплексного числа, кроме уже упомянутого обозначения , используют также форму .Поскольку комплексное число представляет собой упорядоченную пару двух вещественных чисел, каждое из которых может независимо от другого принимать значения от до , имеется взаимно однозначное соответствие между комплексным числом и точкой на декартовой плоскости (см. рис. 53.1).Таким образом, точка на плоскости с координатами , а также вектор с координатами представляют собой геометрическую интерпретацию комплексного числа. Такую плоскость принято называть комплексной плоскостью, ось абсцисс —  действительной осью, ось ординат —  мнимой.Как видно из рисунка, точку на плоскости можно определить, не только задав координаты и , а также при помощи координат и . Координата представляет собой расстояние до рассматриваемой точки от начала координат и называется модулем комплексного числа . Координата  — это угол, который составляет радиус-вектор данной точки с положительным направлением оси абсцисс. Угол называют аргументом комплексного числа и обозначают .Из простых геометрических соображений можно получить, что , а . Таким образом, комплексное число может быть задано как . Обратное преобразование от к имеет вид: , .Отметим, что аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до аддитивного слагаемого, кратного . Таким образом, используя представление комплексного числа, можно сказать, что два комплексных числа равны, если равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное .Запишем еще так называемую показательную форму комплексного числа: , которая вытекает из представления, если использовать формулу Эйлера .Пример 1.Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел: (1,0), (1,1), (0,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1), (2,1).Используя показательную форму комплексного числа и формулы для преобразования от к , запишем:Пример 2.Найти действительную и мнимую части следующих комплексных чисел: , , .Используя формулы преобразования от к , имеем:(-1,1),(1,-1),(2,2). Видеолекция «Комплексные числа»: