54.
Операции над комплексными числами
Суммой комплексных чисел и называется комплексное число , где , .Можно проверить, что при таком законе сложения комплексных чисел выполняются переместительный и сочетательный законы сложения. Так же, как и в области вещественных чисел, прибавление к комплексного нуля не изменяет число . Очевидно, что существует единственное число , обладающее таким свойством.Произведением комплексных чисел и называется комплексное число , где , .При таком определении произведения выполняются переместительный , сочетательный и распределительный законы. Умножение числа на единицу не меняет числа : .Если рассматривать вещественные числа как комплексные числа с нулевой мнимой частью, то операции сложения и умножения, определенные выше, сведутся к обычным операциям сложения и умножения вещественных чисел. Это позволяет рассматривать множество комплексных чисел как обобщение множества вещественных чисел.Введенная нами в предыдущем разделе запись комплексного числа в виде соответствует сумме вещественного числа и вещественного числа , умноженного на мнимую единицу . Применяя правило умножения комплексных чисел, легко установить, что . Использование записи и правил умножения с мнимой единицей позволяет производить операции с комплексными числами по обычным правилам алгебры.Комплексное число называется комплексно сопряженным к .Применение операции комплексного сопряжения к вещественному числу не меняет это число, а применение ее к чисто мнимому числу сводится к изменению знака. Простым вычислением легко проверить, что , , .Разностью комплексных чисел и называется комплексное число , где , .Частным комплексных чисел и называется комплексное число , если выполнено соотношение .Операции вычитания и деления комплексных чисел являются обратными по отношению к операциям сложения и умножения соответственно.Используя и правило умножения комплексных чисел, можно записать: и . Выразив из этой системы уравнений и , получим: .Пример 1.Даны два комплексных числа и . Найти , , , , , .,,,,,.Пример 2.Даны два комплексных числа и . Найти , , , , , .,,,,,.Представление комплексного числа в виде действительной и мнимой частей удобней, прежде всего, для операций сложения и вычитания. Для выполнения умножения и деления комплексных чисел больше подойдет показательная форма. Запишем и , перемножение и даст:.Проделывая аналогичные вычисления для частного двух комплексных чисел получаем:.Операция комплексного сопряжения приводит к изменению знака у аргумента комплексного числа . Возведение в степень приведет к комплексному числу .Корнем -ой степени из комплексного числа называется число , такое что .Из этого определения следует, что , и . Однако в предыдущем разделе мы отмечали, что аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до аддитивной постоянной, кратной . Это означает, что комплексные числа с аргументами , при различных значениях тоже будут представлять собой корень -ой степени из числа . При этом значения от 0 до будут давать аргументы , отличающиеся на величину, меньшую , то есть будут представлять собой различные комплексные числа. Таким образом получается, что корень -ой степени из комплексного числа имеет различных значений.Пример 3.Даны два комплексных числа и . Найти , , , , , , , .Для вычисления суммы и разности удобней записать комплексные числа в другом виде:, .,,,,,,,.Пример 4.Найти , .,.Пример 5.Найти , , , .,,,. Видеолекция «Операции над комплексными числами»: