55.
Несобственные интегралы первого рода
Пусть функция определена всюду на для любого существует . Обозначим и будем его называть несобственным интегралом первого рода от функции на полупрямой . Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует, то расходящимся.Замечание 1. Если>  a, то можно также рассматривать интеграл . При этом справедливо соотношение и из сходимости (расходимости) одного интеграла следует сходимость (расходимость) другого.Замечание 2. Аналогично определяются несобственные интегралы и .Пример 1.несобственный интеграл существует при и равен , а при он расходится.Теорема (критерий Коши). Для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало такое , что для любых выполнялось неравенство .Теорема. Пусть на  . Тогда из сходимости следует сходимость .Теорема. Пусть на  , где c и p постоянные величины и >  1. Тогда интеграл сходится. Если же существует константа c, такая, что на  , где , то интеграл расходится.Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится .Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, интеграл расходится.Замечание. Из абсолютной сходимости интеграла следует его сходимость.Теорема. Пусть f(x) и g(x) определены на . Пусть на  f(x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную F(x). Пусть g(x) монотонно не возрастая стремится к нулю при и имеет непрерывную на производную . Тогда несобственный интеграл является сходящимся. Видеолекция «Несобственные интегралы первого рода»: