57.
Применение интегрального исчисления в экономике
Рассмотрим ряд задач экономического характера, в которых используется интегральное исчисление.Пример 1.Пусть для некоторого технологического процесса известно, какая электрическая мощность необходима для работы оборудования как функция времени. Обычно мощность измеряют в ваттах (Вт) или производных от нее единицах, например, киловаттах (кВт). Требуется оценить затраты на электроэнергию, связанные с производством.Если потребляемая мощность постоянна, например, включен один станок, который работает без перерыва от начала до конца цикла продолжительностью T (часов), то затраты на электроэнергию вычисляются по простой формуле cWT, где c — это стоимость одного киловатт-часа, W — мощность оборудования (в киловаттах).Если же потребляемая мощность в связи с технологическими особенностями процесса является функцией времени W(t), то написанная формула не применима. Для расчета мощности разобьем промежуток времени T на малые промежутки t, настолько малые, что функцию W(t) на них можно считать постоянной. На каждом из таких промежутков стоимость потребленной электроэнергии будет рассчитываться по рассмотренной формуле cW(t)t, причем функция W(t) считается постоянной в пределах промежутка t, но для различных промежутков она имеет различные значения. Общая за все время T стоимость электроэнергии составит сумму по всем промежуткам t. В пределе малых t сумма перейдет, согласно определению определенного интеграла в , то есть стоимость электроэнергии есть интеграл от произведения цены за один киловатт-час на потребляемую мощность, измеренную в киловаттах. Зная мощность и цену, можем вычислить производственные затраты. Аналогично вычисляются расходы воды, горючего и т.п.Пример 2.Пусть издержки хранения на складе единицы продукции в единицу времени равны h, при этом количество хранимой продукции не постоянно, а меняется со временем (поступления и отгрузка) по закону f(t). Определить затраты на обслуживание склада.Аналогично предыдущей задаче, если бы количество товара было постоянно, то затраты рассчитывались бы по формуле hfT. Но поскольку количество продукции постоянно меняется, то для подсчета нужно разбить интервал T на малые промежутки t, в течение которых количество товара остается постоянным, и просуммировать по всем малым промежуткам. В пределе для стоимости хранения получаем интеграл .Пример 3.Для характеристики некоторой меняющейся со временем величины часто используют понятие среднего значения. Например, если известна динамика стоимости c(t) и количества N(t) проданных акций на бирже в течение дня, то среднее значение стоимости акции определяется как затраты на покупку всех проданных акций деленные на количество проданных акций. Как и в предыдущих примерах, здесь возникает суммирование по малым промежуткам времени, которое в пределе и переходит в интегрирование. Таким образом, средняя цена акции будет даваться выражением:.Пример 4.Пусть функция f(t) описывает производительность труда на некотором производстве с течением времени в пределах рабочей смены. Найдем объем продукции, произведенной за смену продолжительностью T часов.Мы уже рассматривали экономический смысл производной и установили, что производительность труда есть производная от функции F(t), описывающей количество произведенной продукции от начала смены (). Соответственно , то есть объем произведенной продукции есть интеграл от производительности труда. Видеолекция «Применение интегрального исчисления в экономике»: