58.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Здесь  — некоторая функция аргумента x, а  — производная этой функции. Если это уравнение можно записать в виде , то это называется уравнением в нормальной форме, или уравнением, разрешенным относительно производной. Функция определяет поле направлений в области D плоскости (x,y) (рис. 58.1).Задача Коши. Найти решение уравнения такое, что .Теорема существования и единственности. Пусть и ее частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости (x,y), точка лежит в области D. Тогда в некоторой окрестности точки существует и единственное решение задачи Коши.Рассмотрим несколько типов обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
  1. Автономные уравнения.Функция предполагается непрерывной на некотором интервале. Из уравнения получим . Интегрируя, приходим к соотношению . Если ввести обозначение , то получим , которое определяет y как неявную функцию x. Кроме того, формула не дает всех решений исходного дифференциального уравнения, поскольку мы делили на , а она может обращаться в нуль. Если , то функция удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению. Таким образом, решения уравнения даются формулами и .Пример 1., если и интегральная кривая есть экспонента. Если , то решением будет (рис. 58.2).Пример 2.Величина при этом должна оставаться положительной. Если , то решением будет Интегральные кривые уравнения будут выглядеть следующим образом (рис. 58.3).
  2. Уравнения с разделяющимися переменными.Функции и предполагаются непрерывными на некоторых интервалах.Из уравнения получим . Интегрируя, приходим к соотношению . Отсюда определяется, как неявная функция от x. Если , то функция удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению.
  3. Линейные уравнения.
 Видеолекция «Дифференциальные уравнения первого порядка»: