59.
Линейные дифференциальные уравнения
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:     (59.1),где и произвольные функции аргумента . Если , получаем линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка:     (59.2)Оно является уравнением с разделяющимися переменными и соответствующим образом может быть проинтегрировано:;  , где C — произвольная константа.Будем искать решение неоднородного уравнения (59.1) в виде,где некоторая неизвестная функция. Подставляя в уравнение (59.1), получим:,где C — произвольная константа.Это означает, что все решения уравнения (59.2) представимы в виде,     (59.3)где C — произвольная константа. Если задано начальное условие , то решение (59.3) принимает вид.Таким образом, общее решение уравнения (59.1) есть сумма решения однородного уравнения (59.2) с заданным начальным условием и решения неоднородного уравнения (59.1), удовлетворяющего нулевому начальному условию.Пример 1., где  — постоянная величина. В соответствии с (59.3) решение этого уравнения имеет вид ,где C — произвольная константа (рис. 59.1). Видеолекция «Линейные дифференциальные уравнения»: