60.
Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида     (60.1)где и некоторые константы, а  — произвольная функция аргумента . Если , получаем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка     (60.2)Будем искать решение в виде , где  — пока не известная константа. Подставляя этот вид решения в (59.2), получим     (60.3)Уравнение (60.3) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (60.2). Решением характеристического уравнения будет:.Возможны следующие случаи.
  1. . Это означает, что у характеристического уравнения (60.3) имеются два различных действительных корня и , которые являются отрицательными. Этим корням соответствуют два решения уравнения (60.2) и .Рассмотрим начальную задачу . Полагая, что общее решение уравнения (60.2) есть,     (60.4)определим однозначно константы и и получим решение начальной задачи     (60.5)
  2. . Это означает, что у характеристического уравнения (60.3) имеются два комплексно сопряженных корня , и , , где .Решение (60.2) есть . Как и в предыдущем случае, константы и однозначно определяются начальными условиями     (60.6)
  3. . В этом случае имеем только одно решение , где . Легко убедиться, что решением является также . Поэтому общее решение опять представимо в виде,а значения и однозначно определяются начальными условиями.Рассмотрим уравнение (60.1) с правой частью вида :     (60.7)Представив решение в виде , где  — неизвестные константы, получим:.Представим решение уравнения (60.7) как сумму частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения, получим .С учетом начальных условий решение примет вид.
 Видеолекция «Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами»: