61.
Задачи на решение дифференциальных уравнений
Пример 1.Найти общее решение дифференциального уравнения .Сведем уравнение к виду и проинтегрируем: .Пример 2.Найти общее решение дифференциального уравнения .Сведем уравнение к виду и проинтегрируем: . Здесь произвольная константа, возникшая при интегрировании, для дальнейшего удобства обозначена как . Беря экспоненту от левой и правой частей и используя известные правила для преобразования показательных и логарифмических функций, получаем: .Пример 3.Найти общее решение дифференциального уравнения .Сведем уравнение к виду и проинтегрируем: . Здесь произвольная константа, возникшая при интегрировании, для дальнейшего удобства обозначена как . Беря экспоненту от левой и правой частей, и используя известные правила для преобразования показательных и логарифмических функций, получаем: .Пример 4.Найти решение дифференциального уравнения с начальным условием .Сведем уравнение к виду и проинтегрируем: . Здесь произвольная константа, возникшая при интегрировании, для дальнейшего удобства обозначена как . Очевидно, что такой выбор произвольной постоянной нисколько не ограничивает ее общности. Выразив , получим общее решение дифференциального уравнения . Используя начальное условие , определим постоянную . Второй из возможных корней не будет удовлетворять начальному условию. В итоге решение начальной задачи, то есть решение дифференциального уравнения с начальным условием, будет функция .Пример 5.Найти общее решение дифференциального уравнения .Заданное уравнение есть однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Ищем его решение в виде . После подстановки получаем алгебраическое квадратное уравнение (называемое характеристическим). Его решение есть . Таким образом, фундаментальная система решений может быть записана как и . Общее решение представляет собой суперпозицию фундаментальных решений, то есть с двумя произвольными постоянными.Пример 6.Найти общее решение дифференциального уравнения .Заданное уравнение есть неоднородное (с правой частью) линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Известно, что его общее решение может быть записано как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного (какого-нибудь) решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения мы нашли в предыдущем примере . Частное решение неоднородного уравнения можно угадать. Будем искать его в виде . Определим постоянные , подставив в исходное уравнение: . Это соотношение должно выполняться при всех x. Приравнивая коэффициенты перед x в левой и правой частях, а также приравнивая свободные слагаемые в левой и правой частях получаем условия для определения : и . Отсюда легко определить , . Общее решение исходного дифференциального уравнения есть .Пример 7.Найти решение дифференциального уравнения с начальными условиями , .В этом уравнении нет явной зависимости от x. Используем следующий прием: , то есть после преобразований, связанных с заменой переменной, мы имеем неизвестную функцию , а переменную —. Уравнение после приведения к виду может быть легко проинтегрировано, в результате чего получаем . Постоянную интегрирования можно определить, используя начальные условия. Подставляя значение функции и ее производной при , получаем значение , и уравнение станет . Извлекая корень, запишем дифференциальное уравнение первого порядка , которое может быть сведено к виду и проинтегрировано: . Второе возможное значение корня нужно отбросить, так как получающееся дифференциальное уравнение не будет удовлетворять начальным условиям. Значение постоянной интегрирования определяем из начального условия и получаем . В итоге ответ .Пример 8.Найти общее решение дифференциального уравнения .Уравнение имеет второй порядок и, соответственно, фундаментальная система решений состоит из двух функций. Будем искать их в виде . Подставляя в уравнение, получим . Это равенство удовлетворяется при , то есть общее решение может быть представлено как суперпозиция двух фундаментальных решений .Пример 9.Найти общее решение дифференциального уравнения .Это уравнение есть линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Ищем его решение в виде . После подстановки получаем алгебраическое квадратное уравнение . Это уравнение не может быть разрешено в вещественных числах, однако используя понятие комплексного числа, его решение можно записать в виде . Таким образом, фундаментальная система решений есть и . Используя формулу Эйлера для показательной формы записи комплексного числа, фундаментальную систему можно переписать в виде и . Поскольку в качестве фундаментальных решений можно выбирать любую комбинацию из независимых решений, то выберем более удобную в данном случае фундаментальную систему , . Общее решение представляет собой суперпозицию фундаментальных решений, то есть с двумя произвольными постоянными.Пример 10.Найти общее решение дифференциального уравнения .Как и в предыдущем примере, ищем решение в виде . После подстановки получаем алгебраическое квадратное уравнение , которое имеет один корень (точнее, два одинаковых) . Таким образом, у нас получилось определить только одно из фундаментальных решений . В тех случаях, когда второе из фундаментальных решений совпадает с первым, ищут другое линейно независимое решение в виде . Подстановкой легко проверить, что это действительно решение исходного уравнения, причем оно не является линейно зависимым от , то есть не сводится к умножению на константу. Общее решение представляет собой суперпозицию фундаментальных решений, то есть с двумя произвольными постоянными. Видеолекция «Задачи на решение дифференциальных уравнений»: