63.
Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка
Наиболее общий вид уравнения в частных производных первого порядка следующий: . Это уравнение определяет неизвестную функцию , зависящую от аргументов. Порядок уравнения определяется наибольшим порядком входящей в него производной. В случае уравнения первого порядка в него могут входить только частные производные первого порядка. Найти решение уравнения означает указать такую функцию, подстановка которой в исходное уравнение обращает его в тождество. В частном случае, когда имеется всего одна независимая переменная, дифференциальное уравнение в частных производных перейдет в обыкновенное дифференциальное уравнение.Во многих областях знания возникают дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка, когда эти производные входят только в первой степени. В таких случаях говорят о квазилинейном дифференциальном уравнении. При этом сама неизвестная функция может входить и не в первой степени (нелинейно). Линейным называют уравнение, в котором каждое из слагаемых является линейным по неизвестной функции или ее производным, то есть неизвестная функция и ее производные входят в каждое слагаемое только в первой степени или не входят в них совсем.Пример 1.Найти решение уравнения .Если выразить производную , то переменную можно рассматривать как параметр и тогда уравнение, фактически, станет обыкновенным дифференциальным уравнением (линейным и неоднородным). Общее решение такого уравнения, рассматриваемого как обыкновенное, может быть представлено в виде , где  — произвольная постоянная, не зависящая от . Легко увидеть, что если будет произвольной функцией от второй переменной , то решение также будет являться решением исходного уравнения. Из этого примера видно, что если в случае обыкновенного дифференциального уравнения произвол в выборе решения был в виде произвольности постоянной, то в случае уравнения с частными производными произвольной может быть функция.Обратимся теперь к решению более общих дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Рассмотрим линейное однородное уравнение , где являются непрерывно дифференцируемыми (имеют непрерывные производные) функциями независимых переменных . Составим систему уравнений , называемую системой характеристических уравнений. В эту систему входит дифференциальное уравнение, разрешив которые мы можем выразить переменную через оставшуюся. В эти решений будет входить произвольная постоянная. Выразив их, можем записать следующие соотношения:Решением исходного однородного дифференциального уравнения в частных производных будет являться произвольная функция:.Пример 2.Найти общее решение уравнения .Составим характеристическую систему и перепишем ее в виде . Используя правила решения обыкновенных дифференциальных уравнений, легко написать решение системы или в нашем случае более удобно . Общее решение исходной системы может быть записано в виде , где символом обозначена произвольная функция. Непосредственной подстановкой найденного решения в исходное уравнение можно убедиться, что оно действительно представляет собой решение при любой функции .Рассмотрим теперь квазилинейное уравнение , где и являются функциями как переменных , так и, возможно, неизвестной функции . Решение такого уравнения производится методами, аналогичными уже рассмотренным. Составляется система характеристических уравнений . Она содержит уравнений, и после ее решения будет содержать произвольных постоянных. Выразив постоянные общее решение квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка можно записать в виде неявной функции:.Символом , как и раньше, обозначена произвольная функция, и она неявным образом определяет решение .Пример 3.Найти решение уравнения .Эту задачу мы уже рассмотрели в начале раздела. Решим ее, применив рассмотренный метод. Перепишем уравнение в более удобном виде: . Запишем систему характеристических уравнений . И хотя в самом уравнении слагаемое вида отсутствует из-за зануления коэффициента перед ним, соответствующий член в системе характеристических уравнений должен присутствовать. Нуль, стоящий в знаменателе характеристической системы, следует понимать не как деление на 0 числителя , а как умножение на 0 выражения стоящего по другую сторону от знака равенства. В соответствии с написанным, характеристическую систему можно переписать в более удобном виде . Решение этой системы имеет вид или, выразив произвольные постоянные: . Таким образом, общее решение исходного уравнения будет неявным образом определяться соотношением . Поскольку неизвестная функция входит только в один из аргументов произвольной функции , ее можно выразить и записать решение в явном виде , где произвольная функция аргумента . Найденное решение, с точностью до обозначений, совпадает с решением, полученным другим способом в первом примере. Видеолекция «Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка»: