64.
Числовые ряды
Рассмотрим числовую последовательность и составим сумму всех ее элементов , которую обычно обозначают следующим образом: . Индекс называется индексом суммирования, внизу и вверху над знаком суммы указываются нижний и верхний пределы суммирования. Бесконечная сумма называется числовым рядом, а ее слагаемые  элементами или членами ряда.-ой частичной суммой ряда  называется сумма первых его элементов, то есть .Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм , при этом предел последовательности называется суммой ряда, то есть .В случае, если не существует, ряд называется расходящимся.Одной из основных задач в теории рядов является установление сходимости ряда и определение его суммы.Пример 1.Установить сходимость ряда .Последовательность его частичных сумм есть . Согласно определению предела последовательности, данному нами в предыдущих разделах курса, такая последовательность не имеет предела. Действительно, не существует такого числа, чтобы все элементы последовательности, начиная с некоторого, укладывались в достаточно малой окрестности этого числа. Соответственно ряд является расходящимся.Пример 2.Установить сходимость ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии .-я частичная сумма ряда, как было рассмотрено нами ранее, равна . Устремляя к бесконечности можно видеть, что при ряд сходится к , в остальных случаях — расходится.Теорема (критерий Коши сходимости ряда). Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашелся номер такой, что для всех и для всех натуральных чисел выполнялось соотношение .Без доказательства.Следствие. Если ряд сходится, то последовательность является бесконечно малой.Величину называют -м остатком ряда .Следствие (Необходимое условие сходимости ряда). Если ряд сходится, то последовательность является бесконечно малой.Заметим, что если последовательность является бесконечно малой, то отсюда не следует сходимость ряда . Этот признак обычно используют для установления расходимости ряда, а именно, если последовательность не является бесконечно малой, то ряд , построенный на ее основе, расходится.Пример 3.Ряд расходится, так как последовательность его элементов не является бесконечно малой.На основании данных определений сходимости и расходимости рядов несложно установить два свойства:
  1. Отбрасывание или добавление конечного числа членов к ряду не влияет на его сходимость или расходимость.
  2. Умножение всех членов ряда на некоторое число не влияет на его сходимость или расходимость.
Ряды с положительными членамиРядом с положительными членами называется ряд, все члены которого неотрицательны .Строго говоря, такой ряд следовало бы назвать рядом с неотрицательными членами, однако мы используем установившееся определение. Для того чтобы подчеркнуть, что речь идет о ряде с положительными членами, будем обозначать их не , а . Очевидно, что последовательность частичных сумм такого ряда является неубывающей.Теорема. Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.Доказательство. Необходимость следует из того, что всякая сходящаяся последовательность ограничена. Достаточность следует из того, что последовательность частичных сумм не убывает и ограничена. Соответствующие теоремы о последовательностях были рассмотрены нами ранее.Абсолютно и условно сходящиеся рядыРяд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .Теорема. Из сходимости ряда следует сходимость ряда .Доказательство. Следует из критерия Коши сходимости ряда и неравенства .Ряд называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, а ряд расходится.Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то любой ряд, полученный из исходного посредством перестановки членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.Без доказательства.Замечание. Для условно сходящегося ряда теорема не имеет места. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим условно сходящийся ряд . Составим на его основе два ряда: и . Первый — представляет собой ряд, составленный из положительных членов исходного ряда, записанных в том же порядке, как они встречались в исходном ряде. Второй ряд состоит из модулей отрицательных членов исходного ряда, также записанных в порядке их следования в исходном ряде. Очевидно, что оба ряда имеют бесконечное число членов, так как если бы в исходном ряде содержалось конечное число членов одного знака, то их отбрасывание не повлияло бы на сходимость исходного ряда. Получившийся в результате такого отбрасывания ряд имел бы члены одного знака, и, следовательно, его сходимость означала бы абсолютную сходимость, а это противоречит нашему предположению, что ряд  — условно сходящийся. Докажем, что оба ряда и являются расходящимися. Обозначим символами  -е частичные суммы каждого из рядов. Тогда очевидно, что и так как исходный ряд сходится, то (через обозначена сумма исходного ряда). С другой стороны, так как исходный ряд не сходится абсолютно, то . Сопоставляя два предела, можем заключить, что и , то есть ряды расходятся. Выбрав порядок следования членов в исходном ряде так, чтобы вначале шли положительные члены, а затем отрицательные, получим расходимость вновь полученного ряда.Теорема. Если два ряда и сходятся и имеют суммы и , соответственно, то и ряд сходится и имеет сумму .Доказательство. Следует из аналогичной теоремы для пределов последовательностей и определения суммы ряда как предела последовательности частичных сумм.Замечание. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.Теорема. Если два ряда и сходятся абсолютно и имеют суммы и , соответственно, то ряд, составленный из всех произведений вида и , занумерованных в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и имеет сумму .Без доказательства. Видеолекция «Числовые ряды»: