65.
Признаки сходимости числовых рядов
Признаки сходимости рядов c положительными членамиТеорема (признак сравнения). Пусть и  — два ряда с положительными членами, причем для всех членов ряда выполняется соотношение . Тогда сходимость ряда влечет за собой сходимость ряда , расходимость ряда влечет за собой расходимость ряда .Доказательство. Следует из аналогичной теоремы для последовательностей и определения сходимости ряда как сходимости последовательности частичных сумм.Замечание. Выполнение неравенства можно требовать не для всех членов ряда, а для всех начиная с некоторого, поскольку отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость или расходимость.Рассмотренная теорема обычно называется признаком сравнения и позволяет установить сходимость или расходимость ряда путем его сравнения с рядом, сходимость или расходимость которого установлена. Кроме того, на основании этой теоремы, путем сравнения исходного ряда с рядом, построенным из элементов геометрической прогрессии, и рядом из единиц, устанавливаются два часто используемых признака сходимости/расходимости ряда — признак Даламбера и признак Коши.Теорема (Признак Даламбера). Если существует предел , то ряд сходится при и расходится при .Без доказательства.Теорема (признак Коши). Если существует предел , то ряд сходится при и расходится при .Без доказательства.Замечание. В обеих теоремах при нельзя сделать заключение о сходимости/расходимости ряда.Теорема (интегральный признак Коши — Маклорена). Пусть функция неотрицательна и не возрастает всюду на полупрямой , где  — любой фиксированный номер. Тогда числовой ряд сходится в том и только том случае, когда существует предел при последовательности .Без доказательства.Признаки сходимости произвольных рядовМы уже рассмотрели признаки сходимости рядов с только положительными членами. Очевидно, что эти признаки можно легко распространить и на ряды с только отрицательными членами, так как такой ряд можно получить почленным умножением на -1. В случае рядов с членами любого знака можно установить абсолютную сходимость ряда одним из уже рассмотренных признаков, а отсюда сразу будет следовать и сходимость ряда. Сформулируем еще два признака сходимости рядов, когда установить сходимость с помощью признаков сходимости рядов с положительными членами не удается.Теорема (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда , где , будучи взяты по модулю, образуют невозрастающую бесконечно малую последовательность, то этот ряд сходится.Доказательство. Пусть известно, что последовательность является невозрастающей и бесконечно малой. Частичную сумму четного порядка можно записать в виде:.Все выражения в скобках неотрицательны, а значит последовательность неубывающая. С другой стороны,.Здесь также все выражения в скобках неотрицательны, значит ограничена сверху , а следовательно, сходится. Из очевидного равенства и из того, что следует, что и последовательность сходится к тому же пределу . Отсюда сразу следует сходимость последовательности и самого ряда. Теорема доказана.Теорема (признак Дирихле — Абеля). Пусть дан ряд . Этот ряд сходится, если выполнены следующие два условия:Без доказательства. Видеолекция «Признаки сходимости числовых рядов»: