66.
Задачи на установление сходимости числовых рядов
Пример 1.Исследовать на сходимость ряд (гармонический ряд).Докажем расходимость ряда, используя критерий Коши, а именно, покажем, что для положительного числа не существует такого номера , что при всех для любого натурального выполняется . В самом деле, если взять , то , то есть условие сходимости не выполняется.Пример 2.Исследовать на сходимость ряд .При  -й член ряда стремится к единице, а не к нулю, соответственно, необходимое условие сходимости ряда не выполнено и ряд расходится.Пример 3.Исследовать на сходимость ряд .Для любого члена ряда выполнено неравенство , при этом известно, что ряд представляет собой ряд, построенный на элементах геометрической прогрессии, который сходится. Используя признак сравнения для рядов с положительными членами, заключаем, что и исходный ряд сходится.Пример 4.Исследовать на сходимость ряд (обобщенный гармонический ряд).Для всех членов ряда выполняется неравенство . Используя признак сравнения для рядов с положительными членами и уже установленную нами расходимость гармонического ряда, можем заключить, что ряд расходится. Аналогично рассматривается ряд, в котором степень числа в знаменателе меньше единицы.Пример 5.Исследовать на сходимость ряд .Применим признак Даламбера, для этого вычислим:.Предел .Так как , то на основании признака Даламбера можем заключить, что заданный ряд сходится.Пример 6.Исследовать на сходимость ряд .Применим признак Коши, для этого вычислим . Предел , который был посчитан, используя правило Лопиталя. Так как , то на основании признака Коши можем заключить, что заданный ряд сходится.Пример 7.Исследовать на сходимость ряд (обобщенный гармонический ряд).Применим признак Коши — Маклорена. Заданный ряд может быть представлен в виде , где , а . Функция убывает и положительна на полупрямой . В силу признака Коши - Маклорена, вопрос о сходимости ряда эквивалентен вопросу о сходимости последовательности . Последовательность сходится, значит сходится и заданный ряд. Аналогично рассматривается ряд, в котором степень числа в знаменателе больше единицы.Пример 8.Исследовать на сходимость ряд .Члены знакочередующегося ряда, будучи взяты по модулю, образуют убывающую бесконечно малую последовательность, следовательно, на основании признака Лейбница ряд сходится.Пример 9.Исследовать на сходимость ряд .Применим признак Дирихле — Абеля. Обозначим , . Последовательность является невозрастающей и бесконечно малой. Последовательность частичных сумм ограничена. Действительно, при суммировании до указанная сумма равна нулю. Если увеличивать , то первые группы по 6 элементов будут давать нулевой вклад в частичную сумму, и таким образом, накопления значений не происходит. Согласно признаку Дирихле — Абеля исходный ряд сходится. Видеолекция «Задачи на установление сходимости числовых рядов»: