67.
Функциональная последовательность и функциональный ряд
Ранее мы рассмотрели такие понятия, как числовая последовательность и числовой ряд. Обобщим теперь эти понятия.Если каждому числу из натурального ряда чисел поставлена в соответствие функция , то множество функций называется функциональной последовательностью.Каждая из функций называется элементом или членом функциональной последовательности.Сумму элементов функциональной последовательности называют функциональным рядом.Сами функции , стоящие в ряде, называют элементами или членами ряда.Множество , на котором определены функции , называют областью определения функциональной последовательности или функционального ряда. Когда из контекста ясно, что речь идет именно о функциональной последовательности или функциональном ряде, то иногда слово «функциональный» для краткости опускают. Как и в случае числового ряда, сумму первых элементов называют -ой частичной суммой.Функциональная последовательность и функциональный ряд, как видно из изложенного, взаимосвязаны между собой. Соответственно, многие понятия, которые мы рассмотрим ниже, применимы как к последовательностям, так и к рядам.Если взять в качестве некоторую точку из области определения , то функциональная последовательность станет числовой, а функциональный ряд станет числовым рядом. Если в этом случае последовательность (или ряд) сходится, то говорят, что последовательность (или ряд) сходится в точке . Множество всех , для которых последовательность (ряд) сходится, называется областью сходимости функциональной последовательности (функционального ряда).Если функциональная последовательность имеет область сходимости , то, вычислив в каждой точке из множества предел последовательности, получим некоторую функцию , которую называют предельной функцией последовательности . В том числе можно определить предельную функцию последовательности частичных сумм функционального ряда, которую называют суммой этого ряда.Пример 1.Показать, что ряд сходится и имеет сумму, равную при любом значении .Воспользуемся формулой Маклорена для , полученной нами в предыдущих разделах курса: , где . Обозначая -ю частичную сумму исходного ряда , можем записать: . При любом фиксированном : . Это означает, что заданный ряд сходится к при любом значении .Пример 2.Установить сходимость и определить предельную функцию последовательности .В точке все элементы последовательности равны единице, следовательно, и ее предел в этой точке равен единице. При любом все элементы последовательности, начиная с некоторого (), будут равны нулю, следовательно, и предел последовательности равен нулю. В итоге предельная функция последовательности есть . Видеолекция «Функциональная последовательность и функциональный ряд»: