68.
Признаки равномерной сходимости
Кроме сходимости последовательности (или ряда) в точке (иногда говорят —поточечной сходимости), рассмотренной нами в предыдущем разделе, в теории функциональных последовательностей и рядов еще определяют понятие равномерной сходимости.Последовательность называется равномерно сходящейся к на множестве , если для любого можно указать такой номер , что при всех выполняется соотношение .Замечание. Это определение во многом аналогично соответствующему определению предела последовательности. Однако в случае равномерной сходимости может зависеть только от и не зависит от . Другими словами, при заданном мы должны указать один для всех номер элемента последовательности , чтобы говорить о равномерной сходимости.Определение равномерной сходимости более жесткое, чем определение поточечной сходимости, то есть для равномерной сходимости предъявляются все требования, как и при обычной сходимости, а также дополнительное требование независимости от . Таким образом, очевидно, что из равномерной сходимости следует поточечная сходимость. Обратное утверждение неверно.Пример 1.Мы уже установили, что последовательность сходится к предельной функции . Покажем, что равномерной сходимости на всем множестве возможных значений нет. Действительно, возьмем последовательность в точке . Они все будут укладываться в промежуток и, соответственно, .Неравенство не будет удовлетворяться при достаточно малых ни при каких значениях , что и означает отсутствие равномерной сходимости.Пример 2.Та же последовательность на отрезке [0.1,1] сходится равномерно. Действительно, исходя из неравенства , можем заключить, что, начиная с , для любого все значения последовательности и выполняется соотношение для любого положительного . Мы смогли указать номер , не зависящий на промежутке от , что и доказывает равномерную сходимость на этом отрезке.Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве к своей сумме , если последовательность его частичных сумм равномерно сходится на множестве к своей предельной функции .Можно доказать две теоремы, устанавливающие критерии равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда, обычно называемые критериями Коши.Теорема. Для того чтобы функциональная последовательность равномерно на множестве сходилась к некоторой предельной функции, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашелся номер такой, что для всех , всех натуральных и всех из множества .Без доказательства.Теорема. Для того чтобы функциональный ряд равномерно на множестве сходился к некоторой сумме, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашелся номер такой, что для всех , всех натуральных и всех из множества .Без доказательства.На практике часто применяют достаточные условия равномерной сходимости, более простые в использовании, чем критерии Коши.Последовательность функций называется равномерно ограниченной на множестве , если существует такое число , что для всех из множества и для всех номеров справедливо неравенство .Теорема (признак Дирихле — Абеля). Пусть дан функциональный ряд . Этот ряд сходится равномерно на множестве , если выполнены следующие два условия:Без доказательства.Теорема (признак Вейерштрасса). Если функциональный ряд определен на множестве и если существует сходящийся числовой ряд такой, что для всех из множества и для любого номера справедливо неравенство , то функциональный ряд сходится равномерно на множестве .Без доказательства. Видеолекция «Признаки равномерной сходимости»: