69.
Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов
При помощи функциональной последовательности или ряда часто задают некоторую функцию, которую нельзя выразить при помощи конечного числа арифметических операций (не элементарные функции), и возникает вопрос о том, при каких условиях эта функция может быть продифференцирована или проинтегрирована и как найти эту производную или интеграл. Ответ на этот вопрос дают следующие теоремы.Теорема. Если функциональная последовательность сходится равномерно на множестве к предельной функции и все элементы этой последовательности имеют предельное значение в точке , то . То есть символ предела последовательности и символ предела функции можно переставлять местами или, другими словами, переходить к пределу почленно.Без доказательства.Теорема. Пусть функциональный ряд сходится равномерно на множестве к сумме . Пусть у всех членов этого ряда существует предельное значение . Тогда . То есть символ предела и символ суммирования можно переставлять местами или, другими словами, переходить к пределу почленно.Без доказательства.Теорема. Если функциональная последовательность сходится равномерно на сегменте к предельной функции и каждая функция интегрируема на сегменте , то и интегрируема на сегменте , причем . То есть равномерно сходящуюся последовательность можно интегрировать почленно.Без доказательства.Теорема. Если функциональный ряд сходится равномерно на сегменте к своей сумме и каждый член ряда интегрируем на сегменте , то и сумма интегрируема на сегменте , причем . То есть равномерно сходящийся ряд можно интегрировать почленно.Без доказательства.Теорема. Если функциональная последовательность сходится хотя бы в одной точке из сегмента , функции имеют производные на сегменте , а последовательность из производных равномерно сходится на этом сегменте, то последовательность сходится на всем сегменте равномерно к некоторой предельной функции , причем эту последовательность можно дифференцировать почленно, то есть всюду на сегменте функция имеет производную , являющуюся предельной функцией последовательности .Без доказательства.Теорема. Если функциональный ряд сходится хотя бы в одной точке из сегмента , функции имеют производные на сегменте , а функциональный ряд из производных равномерно сходится на этом сегменте, то ряд сходится на всем сегменте равномерно к некоторой сумме , причем этот ряд можно дифференцировать почленно, то есть всюду на сегменте сумма имеет производную , являющуюся суммой ряда из производных .Без доказательства. Видеолекция «Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов»: