70.
Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд .Здесь  — некоторые числа, называемые коэффициентами ряда.К степенным рядам применимы понятия и теоремы о сходимости, как и для любого функционального ряда. Очевидно, что любой степенной ряд сходится в точке .Прежде, чем говорить о сходимости степенных рядов, введем понятие предельной точки последовательности.Предельной точкой последовательности  называется число , в любой -окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности .Другими словами, вблизи предельной точки происходит «сгущение» элементов последовательности. Предельную точку можно определить, если из последовательности выделить сходящуюся подпоследовательность (то есть взять некоторое число элементов исходной последовательности, но бесконечно большое). Тогда предел этой подпоследовательности и будет представлять собой предельную точку последовательности . Из определения предела последовательности очевидно, что сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последовательности.Теорема. У всякой ограниченной последовательности существует хотя бы одна предельная точка.Без доказательства.Наибольшая предельная точка последовательности называется верхним пределом этой последовательности и обозначается символом .Аналогично можно определить нижний предел последовательности.Составим из коэффициентов степенного ряда последовательность . Если последовательность ограничена, то у нее существует конечный верхний предел, который будем обозначать символом .Теорема (Коши-Адамара). Если последовательность , составленная на основе коэффициентов степенного ряда :Без доказательства.Замечание. Во втором случае, если , то для таких теорема не дает ответа о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование. Ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.Величину называют радиусом сходимости степенного ряда, а интервал  —промежутком сходимости этого ряда.Сформулируем ряд теорем, касающихся вопросов непрерывности суммы степенного ряда и возможностей его почленного интегрирования и дифференцирования, аналогичных соответствующим теоремам функциональных рядов.Теорема. Сумма степенного ряда внутри его промежутка сходимости является непрерывной функцией.Без доказательства.Теорема. Если лежит в области сходимости степенного ряда , то ряд можно почленно интегрировать на сегменте , причем ряд, полученный в результате почленного интегрирования, имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.Без доказательства.Теорема. Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать, причем радиус сходимости ряда, полученного почленным дифференцированием, тот же, что и у исходного ряда.Без доказательства.Степенной ряд, коэффициенты которого определяются по формуле , называется рядом Тейлора для функции .В предыдущих разделах курса мы уже рассмотрели разложение функции по формуле Тейлора (и в частности, по формуле Маклорена). Приведем разложения основных функций в ряд Тейлора: Видеолекция «Степенные ряды»: