71.
Тригонометрические ряды Фурье
Пусть функция периодична с периодом , то есть для любого выполнено соотношение .Тригонометрическим рядом Фурье функции называется функциональный ряд вида:
.
Числа называются коэффициентами Фурье функции . Все входящие в ряд Фурье функции также периодичны с периодом .Пусть ряд Фурье равномерно сходится. Определим коэффициенты Фурье функции . Проинтегрируем левую и правую часть разложения в ряд по периоду (по координате в пределах, например, от нуля до ). Интегралы и обращаются в нуль, и для коэффициента имеем соотношение . Умножим далее левую и правую части разложения функции в тригонометрический ряд на и проинтегрируем по периоду . Интегралы вида могут быть вычислены:
.
Аналогично можно убедиться, что и интеграл так же обращается в нуль при . Отличным от нуля слагаемым после интегрирования остается член ряда (то есть при ), причем интеграл и для коэффициента имеем соотношение . Аналогично можно получить, что .Заметим, что ввиду периодичности подынтегральных выражений коэффициентов интегрирование можно проводить по любому периоду, в том числе и от до . Если функция  — четная, то есть , то все и ряд состоит из одних косинусов . Если функция  – нечетная, то есть , то все и ряд состоит из одних синусов .Пример 1.Разложить в ряд Фурье функцию , периодически продолженную влево и вправо.Продолженная функция будет иметь период . Вычислим коэффициенты Фурье:,
,
.
В итоге ряд можно записать в виде: . Здесь учтено, что четные коэффициенты зануляются, и вместо в ряде записано , что соответствует суммированию по нечетным индексам.Мы рассмотрели вопрос о нахождении коэффициентов Фурье функции , когда ряд Фурье сходится равномерно. Однако более важным является вопрос, при каких условиях для функции ее можно представить сходящимся тригонометрическим рядом Фурье с коэффициентами , определенными выше. Ответ дает следующая теорема.Теорема. Если периодическая с периодом функция непрерывна вместе со своей производной во всех точках , то тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно к функции .Без доказательства. Видеолекция «Тригонометрические ряды Фурье»: