72.
Задачи на установление сходимости функциональных рядов
Пример 1.Установить сходимость ряда .Воспользуемся признаком Дирихле — Абеля. Последовательность не возрастающая и, в силу независимости от , равномерно сходящаяся к нулю. Докажем теперь, что последовательность частичных сумм равномерно ограничена. Суммируя известное тригонометрическое тождество по всем от 1 до можем выразить частичную сумму:
.
Для всех номеров справедливо неравенство , вытекающее из того, что косинус не может иметь значение по модулю больше единицы, а значит, разность двух косинусов не может иметь значение по модулю больше двух. На любом отрезке, не содержащем точек , где  — целое число (то есть там, где знаменатель не обращается в нуль) последовательность частичных сумм будет ограничена некоторым числом, то есть будет равномерно ограничена. Отсюда следует равномерная сходимость исходного ряда на любом отрезке, не содержащем точек . Сходимость ряда при очевидна, так как это ряд, все элементы которого равны нулю.Пример 2.Установить сходимость ряда .Применим признак Вейерштрасса. Для каждого члена ряда при любом можно записать , при этом ряд сходится. Значит, исходный ряд сходится равномерно при всех .Пример 3.Установить сходимость ряда .Указанный ряд представляет собой сумму членов геометрической прогрессии и его -я частичная сумма равна . При последовательность сходится к , причем на любом отрезке, удовлетворяющем условию , последовательность сходится равномерно. При ряд расходится.Пример 4.Установить сходимость ряда .Зафиксируем , и тогда ряд станет числовым. Воспользуемся признаком Даламбера сходимости числовых рядов и установим абсолютную сходимость при . Действительно, при . При ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости, а именно: члены ряда не образуют бесконечно малую последовательность.Пример 5.Определить радиус сходимости степенного ряда .При любом фиксированном ряд будет числовым. Установим его абсолютную сходимость при всех , воспользовавшись признаком Даламбера. Действительно, . При любом ряд сходится абсолютно, то есть имеет бесконечный радиус сходимости. Напомним, что ряд является рядом Тейлора для функции .Пример 6.Определить радиус сходимости степенного ряда .При любом фиксированном ряд будет числовым. Установим его абсолютную сходимость при всех , воспользовавшись признаком Даламбера. Действительно, . При любом ряд сходится абсолютно, то есть имеет бесконечный радиус сходимости. Напомним, что ряд является рядом Тейлора для функции . Аналогично рассматривается и ряд Тейлора для функции .Пример 7.Определить радиус сходимости степенного ряда .Воспользуемся теоремой Коши-Адамара, для чего рассмотрим последовательность, составленную из коэффициентов ряда . У этой последовательности существует предел, равный . Значит, у последовательности существует только одна предельная точка, равная пределу последовательности. Отсюда заключаем, что радиус сходимости ряда равен 1, то есть он абсолютно сходится при , в остальных случая ряд расходится. Напомним, что ряд является рядом Тейлора для функции .Пример 8.Определить радиус сходимости степенного ряда .Этот ряд представляет собой ряд Тейлора для функции . Для натуральных он содержит лишь конечное число членов, так как один из множителей в числителе для всех членов, начиная с некоторого, зануляется. Соответственно вопрос о сходимости решается автоматически — конечное число слагаемых всегда можно просуммировать при любых . При ненатуральных для любого фиксированного ряд будет числовым. Установим его абсолютную сходимость, воспользовавшись признаком Даламбера. Действительно, . При ряд сходится абсолютно, при  — расходится, то есть имеет радиус сходимости, равный единице. Видеолекция «Задачи на установление сходимости функциональных рядов»: