73.
Применение рядов в экономике
В настоящем разделе мы рассмотрим две задачи, касающиеся последовательностей и рядов, применительно к экономическим задачам.Пусть имеется вклад (рублей) в банке. По прошествии определенного промежутка времени банк начисляет проценты. Обозначим через количество процентов, начисляемых за год. Обычно про такую процентную ставку говорят, что она % годовых. Если промежуток времени, за который начисляются проценты, меньше, чем год, например от года, то за этот промежуток времени банк начислит %. Например, может быть ежеквартальное начисление процентов, тогда за каждый квартал будет начислено %. Иногда применяют ежемесячное начисление процентов. В этом случае за каждый месяц банк будет начислять %. В принципе, возможна и ситуация с ежедневным начислением %.Возможны различные ситуации начисления процентов:Рассмотрим вначале второй случай. Пусть вклад находится временных промежутков, за каждый из которых банк начисляет %, при ставке % годовых. После первого промежутка банк начислит рублей (множитель 100 взялся из-за перевода процентов в доли от единицы, то есть 10% соответствует 0.1 доле), после второго еще и так далее. Спустя временных промежутков к основному вкладу рублей дополнительно можно получить рублей. Если вклад хранится лет, то и сумма вклада и процентов за этот срок составит рублей.Рассмотрим теперь ситуацию с капитализацией процентов к основному вкладу. В этом случае за первый временной промежуток к вкладу будет добавлено рублей, что в итоге составит общую сумму . Другими словами, вклад увеличится в раз. То же самое произойдет после второго, третьего и последующих временных промежутков. Через временных промежутков сумма вклада составит , а через лет . Такой способ начисления процентов обычно называют начисление сложных процентов. В качестве можно брать единицу при ежегодной капитализации, 4 — при ежеквартальной, 12 — при ежемесячной, 365 — при ежедневной. В принципе, можно поставить задачу о непрерывном начислении процентов, то есть когда . В этом случае мы приходим к необходимости вычисления предела последовательности . Заменой он сводится к пределу:. И хотя непрерывный способ начисления процентов, как правило, не применяется в банках, тем не менее может оказаться полезным в ряде задач при анализе долгосрочных прогнозов. Возьмем годовых, срок вклада , начальная сумма . В таблице приведена сумма вклада при различных способах начисления процентов (без капитализации / с капитализацией) и различных периодах выплаты процентов (ежегодно, ежеквартально, ежемесячно, ежедневно и непрерывное начисление).

 

n=1

n=4

n=12

n=365

n=∞

Без капитализации

1.1 ден. ед.

1.1 ден. ед.

1.1 ден. ед.

1.1 ден. ед.

1.1 ден. ед.

С капитализацией

1.1 ден. ед.

1.10381 ден. ед.

1.10471 ден. ед.

1.10516 ден. ед.

1.10517 ден. ед.

Пример 1.Начальный размер вклада под 10% годовых в банке составил 1 млн рублей. Найти размер вклада через 5 лет:
    а) без капитализации процентов, б) с ежегодной капитализацией,в) с ежеквартальной капитализацией,г) с ежемесячной капитализацией, д) с ежедневной капитализацией, е) с непрерывной капитализацией.
Решение.Другая задача — это вопрос о рыночной цене бессрочной облигации номиналом, например, 1000 рублей и 5% купоном. Это означает, что каждый год ее владелец будет получать 50 рублей дохода с одной облигации. Здесь используется ситуация начисления процентов без капитализации, рассмотренная выше. Однако пусть имеется инфляция 2% в год, которая обесценивает как саму облигацию, так и доходы от нее с течением времени. Доход 50 рублей, полученный через год, будет эквивалентен рублей сейчас, полученные еще через год 50 рублей будут эквивалентны рублей в современных ценах и так далее. Если считать доход от облигации без учета инфляции, то он будет расти до бесконечности, каждый год увеличиваясь на 50 рублей. С учетом же инфляции мы должны рассчитывать стоимость дохода, привязавшись к какому-то определенному моменту времени.Проведенные выше рассуждения имели привязку к текущему моменту времени и расчет дохода проводился исходя из текущей покупательной способности рубля. В итоге с учетом обесценивания денег бессрочный доход, получаемый с облигации в ценах текущего момента времени, будет даваться бесконечным числовым рядом . Запишем его в виде . Здесь постоянный множитель 50 в каждом слагаемом вынесен за знак ряда, а суммирование ряда начато не с , а с (чтобы привести его к ряду, составленному из членов геометрической прогрессии, начиная с единицы). Добавление члена ряда с скомпенсировано вычитанием единицы в скобках. Используя известную формулу для суммы геометрической прогрессии, можем записать рублей. Именно такой доход в ценах сегодняшнего дня за бесконечный промежуток времени мы получим с одной облигации. Подобные задачи возникают при необходимости спрогнозировать и сравнить две стратегии инвестиций на будущее. Видеолекция «Применение рядов в экономике»: