1.
Основные понятия теории вероятностей
Основным понятием теории вероятностей является событие. Как и всякому основному понятию, событию не может быть дано строгое определение, но оно может быть пояснено на примерах. Приведем их.Подбрасываются 3 игральные кости. Выпадение в сумме 14 очков — это событие.Парашютист готовится к прыжку. Тот факт, что парашют раскроется — событие.Студент отправляется на зачет. То, что он сдаст (не сдаст) зачет — это событие.Из колоды вынимаются 3 карты. То, что мы при этом вытянем тройку, семерку и туза — это тоже событие.Различные события можно классифицировать следующим образом.
  1. Невозможное событие — событие, которое не может произойти ни при каких испытаниях.
  2. Достоверное событие — событие, которое обязательно произойдет при любом испытании.
  3. Случайное событие — событие, которое может произойти, а может не произойти.
Пример 1.1Бросают 2 кубика.Невозможное событие: сумма цифр равна 1, сумма цифр больше 13 и т.п.Достоверное событие: сумма цифр больше 1 и меньше 13.Случайное событие: сумма цифр меньше 5, сумма цифр больше 7 и т.п.Дадим несколько определений, относящихся к случайным событиям.Определение. Несовместными называются события, в которых появление одного события исключает появление другого события.Пример 1.2Бросают кубик. Выпадение 2 исключает выпадения 1, 3 и т.д. События, когда выпало 1, 2, 3 и т.д., — несовместны. А, например, два события — выпало 3 и выпало число очков меньше 5 — совместны, так как выпадение 3 очков укладывается и в категорию «меньше 5».Определение. События образуют полную группу событий, если в результате испытания появляется хотя бы одно из них.Пример 1.3Бросают кубик. Шесть событий (выпали 1, 2, 3, 4, 5, 6) образуют полную группу, так как одно из этих событий обязательно произойдет.Пример 1.4Бросают кубик. Два события (выпадет число, меньшее 5, и выпадет число, большее двух) образуют полную группу событий.Замечание. В задачах по теории вероятности часто неявно предполагаются выполненными ряд очевидных условий. Так, в предыдущем примере неявно предполагается, что кубик встать на ребро или повиснуть в воздухе не может.Определение. События называются равновозможными (равновероятными), если при большом числе испытаний частота их появления одинакова.Пример 1.5Равновозможные события — это «орел — решка» при подбрасывании монеты; выпадения 1, 2, 3, 4, 5, 6 при подбрасывании кубика. Неравновозможные события: выпадение числа очков больше 1, между 4 и 6, равного 2 при подбрасывании кубика; оценки 2, 3, 4, 5 на экзамене.Определение. Событие называется элементарным, если оно не разделимо на более простые.Пример 1.6Шесть событий (выпали 1, 2, 3, 4, 5, 6) — элементарные, а событие —выпало число очков меньше 4 — не элементарное, так как разложимо на более простые: выпало 1, 2, 3.Определение. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытаниях, называется пространством элементарных событий и обозначается символом Ω.Очевидно, что все элементарные события попарно несовместны.Пример 1.7Пространство элементарных событий в задаче с подбрасыванием кубика: .Пример 1.8Пространство элементарных событий в задаче с подбрасыванием двух кубиков: Видеолекция «Основные понятия теории вероятностей»: