3.
Геометрическая вероятность
В кванте 2 рассмотрены классическое и статистическое определения вероятностей. В частности, даже когда количество элементарных событий конечно, но нет никаких оснований считать их равновероятными, применяется понятие статистической вероятности. Еще одним примером, когда понятие классической вероятности оказывается неприменимым, является ситуация, когда имеется неограниченное количество элементарных событий, которые нельзя даже пронумеровать. Например, если мы произвольным образом выбираем точку на заданном отрезке, то пространством элементарных событий будет множество всех точек, принадлежащих этому отрезку. В этом случае говорить о конечности множества элементарных событий не приходится. Вероятность выбора какой то конкретной точки, как и любой другой, равна нулю, но, в то же время, событие выбора этой точки не является невозможным, просто мы имеем дело с бесконечным числом элементарных событий, вероятность каждого из которых равна нулю. В том случае, если нет никаких оснований полагать, что одни точки обладают преимуществом выбора относительно других, имеет смысл говорить о вероятности того, что выбранная точка принадлежит некоторому подмножеству основного множества, из которого мы выбираем. Например, если мы выбираем точку на отрезке L= [0, 10], то имеет смысл ставить вопрос о вероятности, что выбранная точка окажется внутри отрезка l= [1, 2]. Если, как говорилось выше, преимуществ в выборе одних точек над другими нет, то естественно в качестве вероятности задать отношение меры множества l к мере множества L. В качестве меры выбирают геометрическую меру. Для одномерных объектов, таких, как отрезки, такой мерой является длина, для двумерных объектов — площадь, для трехмерных объектов — объем и т.д. Тогда вероятность, что наугад выбранная на отрезке [0, 10] точка окажется внутри отрезка [1, 2] будет равна 0,1.Пример 3.1Пол расчерчен квадратами со стороной а, как показано на рисунке:Подбрасывается монета радиуса r. Какова вероятность, что монета ляжет таким образом, что не будет пересекать ни одну из линий.Решение. Нарисуем квадрат, внутрь которого попал центр монеты:Задача имеет смысл, если выполнено условие 2r < a. Отступим с каждой стороны квадрата внутрь на радиус монеты r и нарисуем меньший квадрат со стороной a - 2r. Если центр монеты попадает в маленький квадрат, то монета не пересечет ни одну из сторон большого квадрата. Если же центр монеты попадет за пределы маленького квадрата, монета обязательно пересечет хотя бы одну из сторон большого квадрата. Отсюда следует, что вероятность того, что монета не пересечет ни одну из линий, которыми расчерчен пол, есть отношение площади малого квадрата к площади большого квадрата: .Пример 3.2Петя и Вася договорились встретиться между 15.00 и 16.00 часами дня возле библиотеки. Оба люди пунктуальные — если договорились, обязательно придут в произвольный момент указанного временного диапазона. Какова вероятность, что их встреча состоится, если каждый готов ждать другого не более 30 минут?Решение. Обозначим за x время прихода Пети, за y — время прихода Васи и отложим на плоскости (x, y) время их прихода. Поскольку они люди пунктуальные, время их прихода представляет собой множество всех точек квадрата со стороной 1 (1 час). Рассмотрим 2 случая.
  1. Петя приходит раньше. Можем написать 2 условия:, из которых первое означает, что Петя пришел раньше Васи, а второе, — что ждать он будет не более получаса. Множество точек внутри единичного квадрата, удовлетворяющее этим условиям есть верхняя заштрихованная трапеция.
  2. Вася приходит раньше Пети. Также можем написать 2 условия:, из которых первое означает, что Петя пришел позже Васи, а второе, — что ждать Вася будет не более получаса. Множество точек внутри единичного квадрата, удовлетворяющее этим условиям, есть нижняя заштрихованная трапеция.
Вероятность встречи есть отношение площади двух заштрихованных трапеций к площади единичного квадрата. Площадь заштрихованной области есть площадь квадрата, равная 1, минус сумма площадей оставшихся треугольников. В результате получим: .
 Видеолекция «Геометрическая вероятность»: