5.
Перестановки
При решении задач теории вероятностей часто приходится подсчитывать количество возможных вариантов событий. Действительно, формула, приведенная в кванте 4, —  — очень простая. Для вычисления вероятности наступления события A нужно всего лишь вычислить N — общее число элементарных событий и NA — количество элементарных событий, благоприятствующих наступлению события A. В то же время не всегда простой оказывается задача вычисления величин N и NA. Например, если необходимо вычислить вероятность того, что из вытянутых наугад восьми карт окажутся 3 шестерки, 2 туза, 1 король и ни одной десятки при условии, что изначально в колоде имеется 36 карт, то мы конечно можем воспользоваться формулой , но вот только подсчитать N и NA будет не совсем просто. Задачи, в которых вычисляется количество вариантов выбора решаются с помощью комбинаторики. Одним из понятий комбинаторики является понятие перестановки.Перестановки — это комбинации, составленные из одних и тех же элементов и отличающиеся порядком их следования. Число всех возможных перестановок элементов обозначается Pn, и может быть вычислено по формуле:, где  — произведение всех натуральных чисел от 1 до n.Действительно, будем расставлять n элементов по n местам в различном порядке. Заполнить первое место мы можем n способами. Когда первое место заполнено, перед нами n -1 — элемент для того, чтобы заполнить второе место. Таким образом, число способов заполнить второе место, когда первое заполнено выбранным ранее элементом, равно n -1. Причем такое число способов заполнить второе место есть для каждого варианта заполнения первого места, значит, число способов заполнить первые два места будет . Далее по аналогии, заполнить третье место можно n -2 способами, а первые три — n (n – 1) (n – 2) и т.д. Предпоследнее место можно заполнить двумя способами (осталось два элемента), последнее только одним. Число способов заполнить все n мест, а, значит, и число перестановок равно n!.Пример 5.1Четверо участников квартета из басни Крылова всякий раз, пересаживаясь, исполняют десятиминутное произведение. Сколько времени потребуется на прослушивание всех вариантов исполнения?Решение. Количество вариантов для пересаживания (перестановок) равно . Требуемое время для исполнения:24 × 10 мин. = 240 мин. = 4 часа.Пример 5.2В урне имеется 10 пронумерованных от 1 до 10 бильярдных шаров. Какова вероятность вынуть последовательно все 10 шаров в порядке возрастания номеров?Решение. , где N — общее число элементарных событий, NA — число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А. Элементарным событием в данной задаче является последовательность из десяти различных чисел от 1 до 10. Следовательно, N = 10!. Нас устроит только одно элементарное событие, когда эта последовательность есть 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. То есть NA = 1. Следовательно, .  Видеолекция «Перестановки»: