6.
Размещения
В 5 кванте рассматривалось комбинаторное понятие «перестановка», когда происходит упорядочивание n различных элементов. Если из n различных элементов происходит выбор не всех, а только различных элементов, то понятие перестановки применять нельзя. В этом случае мы имеем дело с размещениями.Размещениями называют комбинации, составленные выбором из n различных элементов m различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо порядком их следования. Число всех возможных размещений m элементов из n обозначается и равно:(читается «а из эн по эм» или «а эм эн»). Действительно, будем расставлять n элементов по m местам в различном порядке. Заполнить первое место мы можем n способами. Когда первое место заполнено, перед нами n -1 элемент для того, чтобы заполнить второе место. Таким образом, число способов заполнить второе место, когда первое заполнено выбранным ранее элементом, равно n -1. Причем такое число способов заполнить второе место есть для каждого варианта заполнения первого места, значит, число способов заполнить первые два места будет n (n – 1). Далее по аналогии, заполнить третье место можно n -2 способами, а первые три — n (n – 1) (n – 2) и т.д. Предпоследнее место можно заполнить n –m + 2 способами (осталось n –m + 2 элементов), последнее — n –m + 1 способами. Число способов заполнить все m мест, а, значит, и число размещений, равно:. Замечание. Перестановка является частным случаем размещений. Действительно, в случае, когда , т.е. происходит выбор различных элементов из имеющихся элементов, очевидно, что понятия перестановки и размещения совпадают, а формула размещений в этом случае принимает вид:. Рассмотрим примеры применения формулы для размещений . Пример 6.1Имеется кодовый замок, чувствительный к порядку набора цифр. Код состоит из четырех различных цифр. Сколько всего различных кодов может быть набрано?Решение. В кодовом замке имеется всего 10 различных цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Из них надо выбрать 4 различные цифры, при этом важен не только состав, но и порядок следования выбранных цифр. Очевидно, что мы имеем дело с размещениями, поэтому можем вычислить количество различных кодов по формуле:. Пример 6.2Из группы, в которой 25 студентов, нужно выбрать 4-х различных человек для участия в олимпиаде по математике, истории, английскому языку и информатике (по одному студенту на каждую олимпиаду). Сколько существует вариантов выбора?Решение. Поскольку речь идет о выборе четырех различных студентов из 25, и в выборе важен не только состав, но и порядок следования (одно дело Петя пойдет на олимпиаду по математике, а Вася — на олимпиаду по истории, и, совсем другое, когда Петя займется историей, а Вася — математикой), мы имеем дело с размещениями. Следовательно, количество вариантов можно вычислить по формуле:. Пример 6.3Из группы, в которой 25 студентов, нужно сформировать футбольную команду из 11 человек для участия в чемпионате факультета. Сколько существуют вариантов выбора?Решение. Поскольку речь идет о футбольной команде, важен не только состав, но и порядок следования игроков (вратарь, левый полузащитник, и т. д.). Следовательно, мы имеем дело с типичной задачей размещений. По формуле размещений получим, что количество вариантов выбора футбольной команды есть:. Пример 6.4Из колоды в 36 карт вынули 3 карты. Какова вероятность, что все они красные?Решение. Воспользуемся формулой, которая была у нас в кванте 4:, где N — общее число элементарных событий, NA — число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А.Общее число элементарных событий есть количество вариантов выбора 3-х различных карт из 36 карт. Оно может быть вычислено по формуле . Число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А, есть количество вариантов выбора 3-х различных карт из имеющихся в колоде 18-ти красных карт. Оно вычисляется по формуле:. Следовательно, вероятность вынуть 3 красные карты есть:.   Видеолекция «Размещения»: