7.
Сочетания
В 5 кванте и 6 кванте рассматривались комбинаторные понятия перестановка и размещение, когда происходит выбор m различных элементов из n различных элементов при условии, что важен не только состав выбранных элементов, но и порядок их следования. В то же время, бывают ситуации, когда производится выбор различных элементов из различных элементов , и при этом важен только состав, а порядок следования не важен. В этом случае мы имеем дело с таким комбинаторным понятием, как сочетание.Сочетаниями называются комбинации, составленные выбором m различных элементов из n различных элементов, отличающиеся только составом (но не порядком следования). Число всех возможных сочетаний m элементов из nравно:(читается «цэ из эн по эм» или «цэ эм эн»). Действительно, имеется возможных размещений m элементов из n. Размещений, различающихся порядком следования элементов при заданном их составе, — m!, то есть на одно сочетание приходится m! размещений. Следовательно, количество сочетаний есть:. Рассмотрим примеры применения формулы для размещений.Пример 7.1Имеется кодовый замок не чувствительный к порядку набора цифр. Код состоит из четырех различных цифр. Сколько всего различных кодов может быть набрано?Решение. Всего различных цифр 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Из них надо выбрать 4 различные цифры, при этом важен только состав, а порядок следования выбранных цифр роли не играет. Очевидно, что мы имеем дело с сочетаниями, поэтому можем вычислить количество различных кодов по формуле:. Пример 7.2В группе — 25 студентов. Наугад выбирают 4-х. Если они все вместе весят меньше 240 кг, всей группе ставится зачет по физкультуре, в противном случае вся группа бежит пятикилометровый кросс. Какое количество вариантов выбора есть у преподавателя физкультуры?Решение. Из 25 человек выбирается 4. При этом очевидно, что важен только состав, поскольку суммарный вес выбранных студентов не зависит от порядка их выбора. Следовательно, можно применить формулу для сочетаний:. Пример 7.3Из группы, в которой 25 студентов, нужно сформировать команду по перетягиванию каната из 11 человек для участия в чемпионате факультета. Сколько существуют вариантов выбора?Решение. Поскольку речь идет о команде по перетягиванию каната, в отличие от примера 6.3 в кванте 6 здесь важен только состав, а порядок следования роли не играет. Следовательно, мы имеем дело с типичной задачей сочетаний. По формуле сочетаний получим, что количество вариантов выбора команды есть:. Пример 7.4Из колоды в 36 карт вынули 3 карты. Какова вероятность, что они все трефовой масти?Решение. Воспользуемся формулой, которая была у нас в кванте 4 , где N — общее число элементарных событий, NA — число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А. Общее число элементарных событий есть количество вариантов выбора 3-х различных карт их 36 карт. Оно может быть вычислено по формуле . Число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А есть количество вариантов выбора 3-х различных трефовых карт из имеющихся в колоде 9-ти карт трефовой масти. Оно вычисляется по формуле . Следовательно, вероятность вынуть 3 трефовые карты есть:.  Видеолекция «Сочетания»: