8.
Выбор с возвращением
В 5 кванте, 6 кванте и 7 кванте рассматривались комбинаторные понятия перестановка, размещение и сочетание, когда происходит выбор mразличных элементов из n различных элементов . В то же время бывают ситуации, когда производится выбор m из n различных элементов таким образом, что один и тот же элемент может быть выбран несколько раз. Например, из колоды карт вынимается одна карта, затем она возвращается обратно, колода перемешивается и процедура повторяется. В такой ситуации одна и та же карта может быть вынута из колоды несколько раз. В случае, когда выбор каждый раз осуществляется из одного и того же набора различных элементов, мы имеем дело с таким комбинаторным понятием, как выбор с возвращением.Выбор с возвращением представляет собой комбинации m элементов из n элементов, отличающиеся составом или порядком следования, причем выбранный элемент возвращается на место и может участвовать в дальнейшем выборе. Число комбинаций m элементов из n элементов, при условии, что выбранный элемент возвращается на место и может участвовать в дальнейшем выборе, равно nm. Действительно, будем расставлять n элементов по m местам в различном порядке. Заполнить первое место мы можем n способами. Второе место можем заполнить тоже n способами. Причем такое число способов заполнить второе место есть для каждого варианта заполнения первого места, значит, число способов заполнить первые два места будет n2. Заполнить третье и все последующие места мы можем также n способами. По аналогии существует всего nmспособов заполнить m мест, выбирая из n элементов.Замечание. В отличие от трех предыдущих комбинаторных понятий перестановки, размещения и сочетания, изложенных в 5 кванте, 6 кванте и 7 кванте, в которых обязательным условием было , для выбора с возвращением такого условия нет, поскольку выбранный элемент всякий раз возвращается обратно и участвует в дальнейшей процедуре выбора.Пример 8.1Монета подбрасывается 10 раз. Сколько существуют вариантов испытаний? То же самое рассмотреть для игральной кости.Решение.Каждое подбрасывание монеты есть выбор одного варианта из двух (орел, решка). Количество испытаний равно 10. По формуле выбора с возвращением получим:.Если 10 раз подбрасывается игральная кость, то n = 6, а m по-прежнему равно 10. Следовательно, .Пример 8.2Имеется кодовый замок, чувствительный к порядку набора цифр. Код состоит из четырех цифр, которые могут повторяться. Сколько всего различных кодов может быть набрано?Решение. Всего различных цифр 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Из них надо выбрать 4 различные цифры, при этом важен и состав, и порядок следования выбранных цифр, а сами цифры могут повторяться, т.е. мы 4 раза выбираем один из 10 различных элементов. Очевидно, что мы имеем дело с выбором с возвращением, поэтому можем вычислить количество различных кодов по формуле:.Пример 8.3Код банковской карты состоит из 4 цифр. Какое количество кодов существует?Решение. Очевидно, что эта задача является аналогом предыдущей. Действительно, каждый символ кода есть выбор одной цифры из 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Выбор производится 4 раза (код четырехзначный). Следовательно, общее количество кодов может быть вычислено по формуле:.Заметим, что количество кодов можно подсчитать и без знания комбинаторики. Действительно, коды меняются от 0 (0000) до 9999 с шагом 1, поэтому их количество равно 10000.Помимо этого, нетрудно вычислить вероятность того, что, не зная код, человек сможет с первого же раза его угадать. Воспользуемся формулой:,где N = 10000 — общее число элементарных событий, а NA = 1 (только один код правильный) — число элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А. Следовательно, вероятность с первого же раза угадать код равна: Видеолекция «Выбор с возвращением»: