9.
Задачи на комбинаторику
В 4 кванте было показано, что в случае, когда пространство элементарных событий дискретно, а сами элементарные события равновероятны, вероятность события A определяется как отношение числа элементарных событий NA, благоприятствующих наступлению события A, к общему числу элементарных событий N:. Воспользуемся указанной формулой и изложенными в 5 кванте, 6 кванте и 7 кванте и 8 кванте основными понятиями комбинаторики для решения простейших задач теории вероятностей. Заметим, что в формуле должен быть использован один и тот же подход при вычислении и числителя и знаменателя. Либо оба они вычисляются с учетом внутренних перестановок (порядок следования важен), либо оба вычисляются без учета внутренних перестановок (порядок следования не важен).Пример 9.1Имеется 10 ключей, одним из которых открывается дверь. Какова вероятность того, что из первых трех выбранных наугад ни один не подойдет к двери?Решение. Три ключа из десяти можно выбрать способами. Три не подходящих ключа можно выбрать способами (подходящий к двери ключ откладывается). Вероятность равна:. Пример 9.2Код банковской пластиковой карты состоит из 4-х цифр. Если 3 раза подряд набран неверный код, карта блокируется. Какова вероятность, что человек не сможет воспользоваться чужой пластиковой картой? По сути, это вопрос о том, насколько защищена кодом пластиковая карта.Решение. Сначала определим, сколько всего различных кодов может быть у пластиковых карт. Ответ на этот вопрос содержится в примере 8.3 кванта 8 — 10000 различных кодов. Если мы выбираем 3 различных кода из 10000, то количество элементарных событий есть . Событие А состоит в том, что среди выбранных 3-х кодов нет правильного. Из 10000 всех возможных кодов 1 код правильный, и 9999 — неправильных. Следовательно, количество элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А (количество вариантов выбора 3-х неправильных кодов) есть . Таким образом, вероятность того, что картой воспользоваться не удастся, равна:, т.е. защита карты четырехзначным кодом достаточно надежна, а вероятность того, что человек не сможет воспользоваться чужой картой, равна 99,97%.Пример 9.3В группе студентов, состоящей из 25 человек, имеется 7 отличников. Какова вероятность, что из наугад выбранных 10 студентов окажется 4 отличника?Решение. В группе из 25 человек — 7 отличников. Если происходит выбор 10 студентов, то общее число элементарных событий равно . Количество вариантов выбора 4-х отличников (всего 7 отличников) равно . Количество вариантов выбора шести «не отличников» равно . Каждому варианту выбора 4-х отличников соответствуют N2 вариантов выбора шести «не отличников». Следовательно, . Таким образом, искомая вероятность равна:. Пример 9.4Имеется покерная колода из 52-х карт (от двоек до тузов). Наугад выбираются 3 карты. Какова вероятность, что это будут тройка, семерка и туз? Последовательность и масти роли не играет.Решение. Общее число элементарных событий равно . Поскольку в колоде 4 тройки, количество вариантов достать одну тройку равно . Аналогично семерку можно достать способами, а туза — способами. Следовательно, существует различных способов достать из колоды тройку, семерку и туза. Это означает, что вероятность вынуть из колоды 3 заветные карты равна:. Пример 9.5Какова вероятность того, что из выбранных наугад 30 человек не найдется двоих с совпадающими днями рождения? Под «совпадающими днями рождения» понимается, что эти люди отмечают свое рождение в один и тот же день, а год рождения у них может быть разный.Решение. Будем решать эту задачу, предполагая, что в году 365 дней. Конечно, раз в 4 года количество дней увеличивается на 1, но это очень слабо сказывается на численном результате и усложняет решение. Очевидно, что общее число элементарных событий (количество вариантов тридцати дней рождения) может быть вычислено по формуле выбора с возвращением (квант 8): . Заметим, что при вычисленииN мы использовали формулу, в которой важен как состав, так и порядок следования выбранных 30 элементов. Это означает, что при вычислении NA мы должны придерживаться такого же подхода. Количество элементарных событий, благоприятствующих наступлению события А определяется выбором 30 различных дней рождения из имеющихся 365. При этом один вариант выбора от другого должен отличаться составом либо порядком следования. Очевидно, что NA может быть вычислено по формуле размещений:. Окончательно получим:. Это означает, что вероятность того, что в группе из 30 человек найдутся хотя бы двое с совпадающими днями рождений, составляет» 70%.Пример 9.5Игральная кость подбрасывается 5 раз. Какова вероятность, что все 5 раз выпадет шестерка?Решение. Общее число элементарных событий определяется формулой выбора с возвращением . Нас устраивает только одно из них, когда каждый раз выпадает шестерка. Следовательно:. Пример 9.6Игральная кость подбрасывается 5 раз. Какова вероятность, что хотя бы 1 раз выпадет шестерка?Решение. Общее число элементарных событий — . Из всех этих событий нас не устраивают события, когда и первый, и второй, и третий, и четвертый, и пятый раз выпадает что угодно, кроме шестерки (5 вариантов). Это означает, что количество элементарных событий, которое нас не устраивает, равно . Значит, количество устраивающих нас элементарных событий есть . Следовательно, искомая вероятность равна:.  Видеолекция «Задачи на комбинаторику»: