11.
Умножение вероятностей. Условная вероятность
Определение. Произведением AB двух событий A и Bназывают событие, состоящее в совместном появлении этих событий.Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в появлении всех событий.Определение. Условной вероятностью  называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило.Пример 11.1Имеется колода из 36 карт. Какова вероятность вытянуть вторую карту красной масти, если известно, что первой была вытянута карта черной масти? Какова вероятность вытянуть вторую карту красной масти, если известно, что первой была вытянута карта тоже красной масти?Безусловная вероятность вытянуть красную масть равна . Если известно, что первой была вытянута черная масть, то при вытягивании второй карты мы имеем всего 35 вариантов, из них 18 — благоприятных (красная масть). Следовательно, вероятность вытянуть красную масть при условии, что одна карта черной масти уже вытянута, равна . В случае, когда первая вытянутая карта тоже красной масти, для вытягивания второй карты красной масти имеем 35 вариантов, из них благоприятных — 17. Вероятность вытянуть красную масть при условии, что первой была вытянута тоже красная, равна .Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое уже поступило:.Без доказательства.Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили:. Пример 11.2Имеется n пронумерованных предметов. Какова вероятность вытащить их в возрастающей последовательности?Задача легко решается применением комбинаторики. Количество различных последовательностей вытаскиванияn предметов есть не что иное, как количество перестановок n!. Возрастающая же последовательность единственна. Следовательно, искомая вероятность может быть вычислена по формуле . Тот же результат можно получить используя последнюю теорему. Вероятность вытянуть первым предмет с номером «1» есть . Вероятность вытянуть на i-ом шаге предмет с номером «i», если предыдущие номера уже вынуты (осталось предметов), есть . Следовательно, искомая вероятность есть:. Пример 11.3Имеется 8 синих и 5 красных шаров. Вытаскиваем наугад 2 шара. Какова вероятность того, что вытащенные шары красные?Из формул комбинаторики следует, что всего существуют вариантов выбора 2-х шаров из 13. Число вариантов выбора 2-х красных шаров: . Искомая вероятность . По теореме умножения вероятностей получим тот же результат. Вероятность вытянуть красный шар (первым) равна . Вероятность вытянуть красный шар при условии, что один красный уже вытащен Eqn_11-16.gif. Искомая вероятность:. Пример 11.4В рассмотренном в 9 кванте примере 9.5 (про дни рождения) группа состоит из 30 студентов. Какова вероятность, что нет студентов с совпадающими днями рождения, вычисленная с использованием понятия условной вероятности?Первый студент: все равно, какой день рождения.Второй студент: вероятность родиться в какой-нибудь из дней, кроме того, в который родился первый студент: . Третий студент: вероятность родиться в какой-нибудь из дней, кроме тех, в которые родились первый и второй студенты: . i-й студент: вероятность родиться в какой-нибудь из дней, кроме тех, в которые родились предыдущие студенты: . Искомая вероятность: .Получаем, очевидно, тот же результат. Видеолекция «Умножение вероятностей. Условная вероятность»: