12.
Независимые события. Теорема умножения для независимых событий
Определение. Событие B называют независимым от события A, если появление события A не изменяет вероятности появления события B.Пример 12.1При бросании кубика вероятность появления числа 2 при втором бросании не зависит от результатов первого бросания.Пример 12.2При вытягивании экзаменационных билетов вероятность вытащить самый простой билет (№ 13) восьмым студентом зависит от результатов всех предыдущих.В случае, когда событие B не зависит от события A, в соответствии с определением , то есть условная и безусловная вероятности события равны.Поскольку события AB и BA — это одно и то же, то . Следовательно, если , то , то есть если B не зависит от A, то и A не зависит от B.Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий A и B равна произведению вероятностей каждого из них:. Доказательство. Следует из определения независимых событий и теоремы умножения.Пример 12.3Какова вероятность, что, бросая кубик 6 раз, мы получим последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6?Результат бросания кубика не зависит от предыдущих результатов бросания. По формуле для вероятности произведения независимых событий искомая вероятность равна .Определение. Несколько событий называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое из них и все возможные произведения остальных.Теорема. Вероятность совместного появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:. Замечание. Если  — независимые события, то и противоположные им события  — независимы.Замечание. Если события независимы в совокупности, то из определения следует их попарная независимость, то есть любые два из них независимы. Обратное, вообще говоря, неверно, то есть из попарной независимости не следует их независимость в совокупности (см. пример 12.4).Пример 12.4Пусть имеется тетраэдр (объемная фигура, сторонами которой являются правильные треугольники, всего — четыре стороны). Пусть три стороны раскрашены в красный, зеленый и синий цвета (по одному на каждую сторону), а четвертая содержит все три цвета. Будем бросать тетраэдр наудачу, и цвет, оказавшийся на нижней грани, назовем выпавшим. Очевидно, что вероятность выпадения красного цвета (а также вероятность выпадения зеленого и вероятность выпадения синего цветов) равны (каждый цвет содержится на двух гранях из четырех). Вероятность одновременного выпадения двух цветов, например, красного и зеленого, равна . Таким образом, имеем . Аналогично для других комбинаций из двух цветов, то есть события выпадение цвета — попарно независимы. Вероятность же выпадения всех трех цветов одновременно , то есть события не независимы в совокупности. Видеолекция «Независимые события. Теорема умножения для независимых событий»: