15.
Задачи на вычисление вероятностей появления хотя бы одного события
В 14 кванте была доказана формула вероятности появления хотя бы одного события:. Было показано, что в случае, когда события независимы в совокупности, эта формула сводится к более простому виду:. Решим ряд задач, используя данные формулы.Пример 15.1За 5 лет обучения Петя должен сдать 50 экзаменов. Являясь добросовестным студентом, он к каждому экзамену готовится одинаково тщательно, так, что вероятность сдать любой из 50 экзаменов равна 0,98. Какова вероятность того, что за 5 лет обучения Петя хотя бы 1 раз отправится на пересдачу?Решение. Пусть событие А состоит в том, что Петя не сдаст хотя бы 1 экзамен. Тогда можно написать, что , где  — события, что Петя не сдаст первый, второй, и т.д. экзамены. Поскольку события являются независимыми в совокупности, можно применить формулу:. Заметим, что события , являясь противоположными событиям , состоят в том, что Петя сдаст первый, второй и т.д. экзамены. Вероятность каждого из этих событий по условию задачи равна 0,98. Следовательно, для искомой вероятности получим:. Заметим, что, несмотря на изначально большой шанс (0,98) сдать каждый экзамен, вероятность «провалить» хотя бы один из экзаменов оказывается вполне реальной. Это связано с тем, что даже при малой вероятности реализации события вероятность его появления при большом числе испытаний становится большой.Пример 15.2Петя 200 дней в году отправляется на работу. При этом каждый раз он переходит дорогу в неположенном месте, идя на работу и возвращаясь домой. Дорога настолько мало оживленная, что вероятность быть сбитым равна 0,0005. Какова вероятность того, что за 10 лет с Петей произойдет несчастный случай?Решение. За 10 лет Петя должен будет 4000 раз нарушить правило перехода улицы. Пусть событие А состоит в том, что с Петей произойдет несчастный случай. Событие А есть сумма 4000 событий , где  — события, состоящие в том, что несчастный случай произойдет в первый, во второй и т.д. разы при переходе улицы. Следовательно можем написать, что:, где  — события, состоящие в том, что и в первый, и во второй, и т.д. разы Петя дорогу перейдет без происшествий. Вероятность каждого из них равна 0,9995. Поскольку события независимы в совокупности, можно написать, что: или. Пример 15.3Зная, что экзаменатор очень добрый, и предоставляет каждому студенту до трех попыток вытянуть экзаменационный билет, студент выучил всего 7 билетов из 30. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен?Решение. Пусть событие А состоит в том, что студент сдаст экзамен. Это означает, что при трех попытках он вытянет выученный билет. Тогда можно написать, что , где события состоят в том, что студент вытянет выученный билет при первой, второй и третьей попытке, соответственно. Следовательно:, где  — события, состоящие в том, что студент в первый, во второй и в третий раз вытянет не выученные билеты. Таким образом, получим:.  Видеолекция «Задачи на вычисление вероятностей появления хотя бы одного события»: