16.
Теорема сложения вероятностей совместных событий
В кванте 10 мы рассмотрели формулу для вероятности суммы несовместных событий . Обобщим теперь эту формулу на случай, когда складываются два совместных события A и B.Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления:. Без доказательства.Замечание 1. В случае несовместных событий мы получаем формулу для вероятности суммы несовместных событий как частный случай.Замечание 2. Сделаем еще замечание по структуре формулы для вероятности суммы двух совместных событий. Графически два совместных события можно изобразить как две пересекающиеся области A и B. Сумма A+ B соответствует попаданию в какую-нибудь из областей, или A, или B. В 3 кванте говорилось, что вероятность попадания в некоторую область пропорциональна площади этой области, и соответственно вероятность попадания в объединение двух областей будет пропорциональна площади этой объединенной области. А ее, в свою очередь, можно представить как сумму площадей двух областей A и B за вычетом пересекающегося участка, так как при суммировании площадей A и B он будет учтен 2 раза.Пример 16.1Даются 2 задачи. Зачет ставится при решении хотя бы одной. Какова вероятность получить зачет, если вероятность решить первую задачу — 0,5; вторую — 0,7?Пусть событие A состоит в том, что решена первая задача, а событие B — вторая. Вначале решим задачу уже рассмотренным нами в 14 кванте способом. События независимы, поэтому вероятность решения хотя бы одной из задач по теореме о наступлении хотя бы одного из независимых событий:.Теперь рассмотрим эту же задачу способом, рассмотренным в настоящем кванте. Используя теорему о вероятности суммы совместных событий, получаем тот же ответ:.В этой задаче при обоих способах решения использовалось предположение о независимости событий A и B. И хотя в условии задачи явно об этом не сказано, такое предположение вполне оправдано по следующим соображениям, которые являются достаточно естественными и предполагаются выполненными. Во-первых, предполагается, как это обычно и бывает, что для решения второй задачи не нужно знать ответ первой задачи, то есть каждая задача решается «с чистого листа». Без этого предположения, вообще говоря, нельзя было бы говорить о независимости событий, поскольку правильно решить вторую задачу, не решив при этом первую, было бы невозможно. Во-вторых, предполагается, что задачи для своего решения не требуют значительного количества времени и сил так, что студент, решив первую задачу, не устает настолько, что ему становится уже трудно решать вторую задачу. В этом смысле работа над первой задачей не сказывается на вероятности решить вторую задачу. Указанные обстоятельства и обуславливают неявно имевшееся в виду в задаче предположение о независимости событий A и B. Видеолекция «Теорема сложения вероятностей совместных событий»: