17.
Задачи на сложение вероятностей совместных событий
Пример 17.1Вероятность поразить мишень при одном выстреле равна 0,5. Какова вероятность поразить мишень с двух выстрелов?Пусть событие A заключается в том, что мишень поражена первым выстрелом, а событие B — вторым (причем, возможно, она была поражена и первым выстрелом тоже). Исходя из обычных условий стрельбы, можно считать, что событияA иB независимы. Используя теорему о вероятности суммы совместных событий, получаем ответ:.Пример 17.2Вероятность поразить мишень при одном выстреле равна 0,5. Какова вероятность поразить мишень с трех выстрелов?Пусть событие A заключается в том, что мишень поражена первым выстрелом, событие B — вторым, и событие C — третьим (как и в предыдущей задаче поражение мишени последующим выстрелом не исключает возможности ее поражения и каким-нибудь предыдущим или обоими предыдущими выстрелами). Исходя из обычных условий стрельбы, можно считать, что все указанные события — независимы. Запишем вероятность суммы событий, используя теорему о вероятности суммы совместных событий, при этом разбив сумму трех событийa, b иC на сумму двух событийA +B иC:. Для вероятности суммы событий A и B можно использовать формулу для вероятности суммы двух совместных событий:, в которой уже использована их независимость. Получим теперь формулу для вычисления . Событие может быть представлено как сумма событий . Используя формулу для вычисления вероятности суммы двух совместных событий, запишем:. Далее произведение событий может быть представлено как произведение . Действительно, произведение двух событий — это событие, заключающееся в том, что произошли оба эти события, произведение трех событий — это событие, заключающееся в том, что произошли все три события и так далее. И соответственно, возникающее произведение событий CC есть не что иное как событие C. В итоге мы имеем следующую формулу для суммы трех совместных событий:.Используя независимость всех трех событий, можем переписать ее в виде:. Подставляя заданные значения, имеем:. Пример 17.3На экзамен пришли 2 студента. Вероятность того, что первый студент сдаст экзамен, составляет 0,9. Вероятность того, что второй студент сдаст экзамен — 0,8. Какова вероятность того, что хотя бы один из них экзамен сдаст?Пусть событие A заключается в том, что первый студент сдаст экзамен, а событие B — второй студент сдаст экзамен. В задаче требуется найти вероятность суммы событий A + B, причем эти события совместны, так как возможна ситуация, когда оба студента сдадут экзамен. Используя формулу для вероятности суммы совместных событий и предполагая независимость этих событий (что вполне естественно), имеем:. Пример 17.4В ящике 4 красных и 6 синих шаров. Вытаскивают два шара. Какова вероятность, что хотя бы один из вытащенных шаров окажется красным?Пусть событие A заключается в том, что первый из вытащенных шаров красный, а событие B — второй из вытащенных шаров красный. В задаче требуется посчитать вероятность суммы событий A + B, причем эти события совместны, так как возможна ситуация, что оба шара окажутся красными. Причем эти события, в отличие от предыдущих задач, нельзя считать независимыми, поскольку результат вытаскивания первого шара влияет на вытаскивание второго шара. Используя формулу для вероятности суммы совместных событий и формулу для вероятности произведения зависимых событий, имеем:. Пример 17.5Имеются два независимых устройства, сигнализирующих об аварии. Вероятность срабатывания первого устройства составляет 0,8, вероятность срабатывания второго устройства — 0,7. Найти вероятность того, что сигнал об аварии будет подан.Пусть событие A заключается в том, что при аварии сработало первое устройство, а событие B — второе. В задаче требуется вычислить вероятность суммы двух событий A + B (то есть срабатывание хотя бы одного из устройств). Эти события совместны и независимы. Используя формулу для вероятности суммы совместных событий и теорему умножения для независимых событий, имеем:.  Видеолекция «Задачи на сложение вероятностей совместных событий»: