21.
Локальная предельная теорема Лапласа
Вычисления по формуле Бернулли:сложны при большом числе испытаний n из-за вычисления больших значений факториала. Действительно, , , а в ряде случаев возникает необходимость проведения и существенно больше, чем 100 испытаний. Выражения и , наоборот, очень близки к нулю при большом числе испытаний. Действительно, имея в виду, что p и q — это вероятности, а, значит, их значения лежат в пределах от нуля до единицы, при возведении в степень, даваемую большим числом, будут очень близки к нулю. В таких случаях используют приближенные формулы для вычисления вероятностей вместо формулы Бернулли.Теорема (формула Лапласа). Если вероятность удачи p в одном из n независимых испытаний с двумя исходами постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность появления ровно k удач приближенно равна (тем точнее, чем больше n):. Без доказательства.Замечание. Несмотря на то, что формула Лапласа выглядит более громоздко, чем формула Бернулли, пользоваться ей при больших n более удобно, поскольку в ней не возникает факториалов от больших чисел, типа n!, и возведений числа меньше единицы в высокую степень, типа и . Значение же экспоненты может быть легко вычислено на компьютере или даже на калькуляторе. Реально формулой Лапласа можно пользоваться, когда .Пример 21.1Тест состоит из 10-ти вопросов, по 4 варианта ответа на каждый вопрос. Один ответ — верный, остальные — нет. Какова вероятность случайно ответить верно ровно на 2 вопроса?По формуле Бернулли, как было рассмотрено нами в кванте 20, вероятность равна .Если же воспользоваться формулой Лапласа, то эта же вероятность будет равна:. Расхождение объясняется тем, что число испытаний 10 не достаточно велико, а формула Лапласа дает хорошее приближение для больших n.Пример 21.2Вероятность поразить мишень при одном выстреле равна 0,5. Найти вероятность поразить мишень ровно 50 раз, если сделано 100 выстрелов.По формуле Бернулли .По формуле Лапласа . Видеолекция «Локальная предельная теорема Лапласа»: