30.
Геометрическое и гипергеометрическое распределения
Геометрическое распределениеПусть проводятся независимые испытания, каждое испытание может иметь два исхода: удача с вероятностью p и неудача с вероятностью q = 1 - p. Введем в рассмотрение случайную величину X — число испытаний до первого появления удачи. Эта случайная величина может принимать значения 1, 2, 3, 4 и так далее до бесконечности. Когда говорят, что случайная величина X имеет значение k, то это означает, что первые k - 1 испытание закончились неудачей, а k-ое испытание стало удачным. Вероятность того, что в серии независимых испытаний будет вначале k - 1 неудач, а в k-ое испытание — удача, равна . Таким образом мы получили закон распределения случайной величины X: значению k случайной величины соответствует вероятность . Этот закон распределения и называется геометрическим распределением. Название происходит из того, что величина представляет собой геометрическую прогрессию, с первым членом p и знаменателем q.Изучим теперь свойства этого распределения. С ростом k вероятности убывают. Используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можем записать:, то есть условие, что сумма всех вероятностей в законе распределения равна единице, выполнено. Вычислим теперь математическое ожидание и дисперсию. По определению математического ожидания имеем:. Для вычисления суммы воспользуемся следующим приемом — заменим на и вынесем производную за знак суммы, в итоге получим:. Оставшаяся сумма представляет собой сумму членов геометрической прогрессии и равна . Вычисляя производную, запишем:. Аналогично можно получить выражение для :. Заменяя сумму на ее значение , вычисляем:. Таким образом, имеем выражение для дисперсии:. Если вероятность удачи равна единице, то математическое ожидание числа испытаний до первой удачи равно 1, а дисперсия — 0. Если, наоборот, вероятность удачи равна нулю, то математическое ожидание — бесконечность (то есть нужно произвести бесконечное число испытаний до появления удачи).Пример 30.1Вероятность попадания в мишень из винтовки равна 0,8. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины — количества выстрелов до первого попадания.Математическое ожидание , дисперсия . Полученные результаты означают, что при вероятности попадания 0,8 попадание будет в среднем с 1—2 выстрела.Гипергеометрическое распределениеПусть имеется N предметов, из них M — помеченных. Наудачу вытаскивают n предметов. Какова вероятность, что среди вытащенных n предметов будет m помеченных? Разумеется . Для решения задачи посчитаем общее число элементарных исходов, каким можно вытащить n предметов из N, и число благоприятных исходов, то есть когда среди n вытащенных предметов окажется m помеченных. Согласно формулам комбинаторики (см. квант 7) общее число элементарных исходов есть . Составить комбинацию m помеченных предметов, когда всего их M, можно способами. При этом на каждый способ составить комбинацию m помеченных предметов из M есть способов взять оставшиеся n - m предметов из N - Mне помеченных. Таким образом, число благоприятных элементарных исходов есть . Согласно классическому определению вероятности получаем ответ к задаче:. Если значения N, M и n заданы, то полученная вероятность, рассматриваемая как функция m, представляет собой закон распределения случайной величины — числа помеченных предметов m в выборке n. Этот закон распределения называется гипергеометрическим распределением.Пример 30.2В ящике 6 синих и 4 красных шара. Вытаскиваем 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется 3 синих.По формуле гипергеометрического распределения имеем:.  Видеолекция «Геометрическое и гипергеометрическое распределение»: