31.
Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Пусть X — непрерывная случайная величина, возможные значения которой заполняют интервал (a, b). Для дискретной случайной величины распределение задается таблицей:

X

x1

x2

x3

x4

xn

P

p1

p2

p3

p4

pn

Для непрерывной случайной величины X таблицу построить нельзя. Для нее вводится понятие функции распределения.Определение. Функцией распределения непрерывной случайной величиныX называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значений, меньшее x, т.е. . Геометрическая интерпретация:При заданном x значение функции F(x) определяет вероятность того, что случайная величина X при испытании примет значение, меньшее, чем F(x).Определение. Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.Свойства функции распределенияСвойство 1. Значения функции распределения F(x) случайной величины Xнаходятся в диапазоне от 0 до 1, то есть . Доказательство. Поскольку по определению , где  — вероятность, что случайная величина X примет значение меньше, чем x, а вероятность лежит в диапазоне от 0 до 1, то .Свойство 2. Функция распределения F (x) является неубывающей.Доказательство. Пусть , тогда:Поскольку они несовместны, то:. Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение в диапазоне (a, b), равна приращению ее функции распределения на этом интервале:. Данная формула напоминает формулу НьютонаЛейбница.Пример 31.1. Найти вероятность того, что Х примет значение в диапазоне (2, 6) :Решение. .Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная Величина Х примет одно предельное значение равна 0.Положим в формуле  . Получим:. Пусть . Поскольку функция F (x) — непрерывна, то: при .Замечание 1. Равенство вероятности нулю не означает невозможности события.Замечание 2. Нет смысла говорить о вероятности одного значения. Надо говорить о вероятности попадания в интервал.Свойство 3. Если возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a, b) , то:Доказательство. Пусть , тогда событие  — невозможное. Следовательно, . Пусть , тогда событие  — достоверное. Следовательно, .Следствие. Если возможные значения Х — вся числовая ось, то:. Если возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a, b) , то график функции распределения имеет видЗамечание 3. Для дискретной случайной величины график функции распределения — ступенчатая функция.Пример 31.2Найти P (2 < X < 3), если функция распределения имеет вид:.Решение..  Видеолекция «Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины»: