42.
Закон больших чисел
Если у нас есть случайная величина X, то нельзя заранее предвидеть, какое значение она примет при испытании, можно лишь говорить о вероятности принятия того или иного значения. Казалось бы, если у нас имеется достаточно большое количество случайных величин , то мы точно так же ничего не можем сказать о том, какое значение при испытании примет их сумма . Однако оказывается, что при весьма широких условиях поведение суммы достаточно большого количества случайных величин становится почти закономерным, практически утрачивая случайный характер. Важные для практики условия, при выполнении которых суммарное действие большого количества случайных причин приводит к результату, практически не зависящему от случая формулируются в теоремах, носящих название закона больших чисел. Прежде всего, это теоремы Чебышева и Бернулли.Прежде чем переходить к самим теоремам рассмотрим неравенство Чебышева. Оно справедливо как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин.Пусть имеется дискретная случайная величина с заданным таблицей законом распределения вероятностей:

X

x1

x2

x3

x4

xn

P

p1

p2

p3

p4

pn

либо непрерывная случайная величина с заданной плотностью распределения вероятностей f(x). Математическое ожидание и дисперсия в первом случае есть: и ,а во втором — и .Попробуем оценить вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания не превышает по модулю некоторого положительного числа . Ответ на этот вопрос дает неравенство Чебышева: .Данное неравенство справедливо как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, и главное, оно не накладывает никаких ограничений на закон распределения случайной величины.Теорема Чебышева. Если  — попарно независимые случайные величины, а их дисперсии равномерно ограничены (меньше некоторого числа С), то для любого , вероятность неравенствабудет как угодно близка к единице, если число n достаточно велико. ,то есть для достаточно большого числа независимых случайных величин с ограниченными дисперсиями почти достоверным является событие, что отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по модулю сколь угодно малым.Доказательство теоремы следует из неравенства Чебышева.В случае, когда математические ожидания случайных величин совпадают и равны a, а дисперсии равномерно ограничены, то для любого , вероятность неравенствабудет как угодно близка к единице, если число n достаточно велико: .Значение для практики. При достаточно большом числе измерений почти достоверно, что их среднее арифметическое как угодно близко к истинному значению измеряемой величины.Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты появления события A от вероятности p по модулю будет сколь угодно малым, при достаточно большом числе испытаний.Доказательство следует из теоремы Чебышева.Теорема Бернулли устанавливает связь между вероятностью события и относительной частотой его появления. Видеолекция «Закон больших чисел»: