43.
Центральная предельная теорема
Ляпунов показал, что если случайная величина есть сумма большого числа взаимно независимых случайных величин , влияние каждой из которых на сумму ничтожно мало, то X имеет распределение близкое к нормальному.Пусть  — независимые случайные величины, каждая из которых имеет конечные математическое ожидание и дисперсию: .Обозначим .Для нормированной суммы функция распределения есть: .К последовательности случайных величин применима центральная предельная теорема, если при любом x функция распределения нормированной суммы стремится к нормальной функции распределения при , т.е.: .В частности, если все случайные величины одинаково распределены, а их дисперсии конечны и отличны от нуля, то к применима центральная предельная теорема.Ляпунов показал, что, если для , то к последовательности применима центральная предельная теорема.Пример 43.1Монета подбрасывается 10000 раз. Найти вероятность того, что относительная частота выпадения орла отличается от 0,5 не меньше, чем на 0,01.Решение.Надо найти , где  — число выпадений герба,  — независимые случайные величины, определяющие количество выпадений орла при «итом» испытании. Для каждой математическое ожидание — , а дисперсия — . В силу центральной предельной теоремы величина имеет распределение, близкое к нормальному: .Следовательно, неравенство можно записать в виде: .Учитывая, что , получим: .Следовательно, искомая вероятность равна: . Видеолекция «Центральная предельная теорема»: