45.
Зависимые и независимые случайные величины. Корреляция
Определение. Случайная величина X называется независимой от случайной величины Y если закон распределения X не зависит от того, какие значения приняла Y.Можно показать, что в этом случае и Y не зависит от X, поэтому такие случайные величины часто называют независимыми.Теорема. Случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда .Доказательство.Необходимость. Пусть X и Y независимы, а, значит, события x и y — независимы. Тогда для вероятности произведения независимых событий имеем , что и доказывает первое утверждение теоремы.Достаточность. Из равенства, приведенного в формулировке теоремы, следует, что , что означает независимость событий X < x и Y < y, а, значит, независимость случайных величин. Теорема доказана.Следствие. Непрерывные случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда .Доказательство.Необходимость. Пусть X и Y независимы, а, значит, . Вычислим смешанную вторую производную . Получаем . Используя определения плотности вероятности, получаем первое утверждение следствия.Достаточность. Пусть выполнено условие . Проинтегрируем его по каждой из переменных:,что можно записать в виде , то есть события X и Y — независимы. Следствие доказано.Для характеристики случайных величин мы уже использовали математическое ожидание и дисперсию. Кроме них для описания взаимосвязи двух случайных величин вводят понятие корреляционного момента.Определение. Корреляционным моментом  случайных величин X и Y называют .Если X = Y, то есть если понятие корреляционного момента применить для двух одинаковых случайных величин, то это будет ни что иное, как дисперсия. Формулу, записанную в определении, можно преобразовать к виду:.В явном виде корреляционный момент запишется как: — для дискретных случайных величин; — для непрерывных случайных величин.Теорема. Если случайные величины X и Yнезависимы, то их корреляционный момент .Доказательство.Если X и Yнезависимы, то случайные величины X - MX и Y - MY тоже независимы. Тогда, используя свойства математического ожидания, получаем:.Теорема доказана.Если случайные величины X и Yимеют размерность, то корреляционный момент также будет иметь размерность, равную произведению размерностей каждой из величин X и Y. Часто используют другую характеристику взаимосвязи двух случайных величин, называемую коэффициент корреляции.Определение. Коэффициентом корреляции  случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению дисперсий каждой из случайных величин: .Определенный таким образом коэффициент корреляции оказывается всегда безразмерным и, таким образом не зависит от выбора системы единиц при измерении случайных величин. Очевидно, что доказанная выше теорема справедлива и для коэффициента корреляции.Теорема. Для корреляционного момента справедливо неравенство .Доказательство.Рассмотрим случайную величину и, используя свойства математического ожидания, вычислим дисперсию:.Учитывая, что дисперсия всегда не отрицательна , получаем неравенство . Аналогичным образом рассматривая случайную величину , можно получить, что . Объединяя эти два неравенства, получаем , что и доказывает теорему.Следствие. Для коэффициента корреляции справедливо неравенство .Доказательство. Очевидно из определения коэффициента корреляции.Определение. Случайные величины X и Yназывают коррелированными, если их корреляционный момент (а, значит, и коэффициент корреляции) не равен нулю. Случайные величины X и Yназывают некоррелированными, если их корреляционный момент (а, значит, и коэффициент корреляции) равен нулю.Здесь следует обратить внимание на неэквивалентность понятий зависимости — независимости и коррелированности — некоррелированности. Две коррелированные случайные величины зависимы, а две независимые случайные величины — не коррелированны. Второе из этих утверждений было доказано выше в одной из теорем, а первое утверждение можно доказать, предполагая противное, то есть если коррелированные величины независимы, то тогда их корреляционный момент был бы равен нулю, а, значит, они были бы не коррелированны. Значит, наше предположение неверно, что и доказывает первое утверждение. Напротив, зависимые случайные величины могут быть коррелированными (это очевидно, так как коррелированные величины зависимы), а могут и не быть таковыми.Пример 45.1Покажем, что двумерная случайная величина (X, Y), заданная плотностью распределения имеет зависимые составляющие X и Y, но при этом не коррелированные, то есть , а .Вычислим плотность распределения в круге отдельно случайных величин X и Y:,.Видно, что , то есть случайные величины X и Y — зависимы. Вычислим теперь корреляционный момент. Заметим, что математические ожидания MX и MY обеих случайных величин равны нулю. Это следует из нечетности подынтегральной функции в определении математического ожидания при интегрировании в симметричных пределах. Тогда корреляционный момент:.также ввиду нечетности по каждому аргументу подынтегральной функции при интегрировании в симметричных пределах. Таким образом, определенные выше случайные величины X и Y зависимы, но не коррелируют.Видеолекция «Зависимые и независимые случайные величины. Корреляция»: