49.
Генеральное и выборочное среднее, групповое и общее среднее
Часто бывает необходимо оценить математическое ожидание и дисперсию генеральной совокупности, используя данные выборки. В настоящем кванте будем говорить об оценке математического ожидания. Обозначим через значения некоторого признака X выборочной совокупности. В генеральной совокупности признак X принимает значения . То есть объем генеральной совокупности — N объектов, а объем выборки — n объектов.Определение. Генеральным средним  называют среднее арифметическое значений признака в генеральной совокупности.Если все значения различны, то . Если значение xi встречается с частотой Ni, то , при этом . Значение признака X генеральной совокупности можно рассматривать как случайную величину, которая может принимать различные значения xi с вероятностями соответственно. Математическое ожидание этой случайной величины , то есть равно генеральному среднему .Определение. Выборочным средним  называют среднее арифметическое значений признака в выборке.Если всех значения различны, то . Если значение xiвстречается с частотой ni, то , при этом .Для оценки неизвестной генерального среднего используют выборочное среднее, то есть предполагают, что . Покажем, что это оправдано.Если взять другую выборку того же объема, что и исходная, то мы получим, вообще говоря, другое значение выборочного среднего. Таким образом, выборочное среднее можно рассматривать как случайную величину, причем каждое из слагаемых в определении выборочного среднего есть тоже случайная величина, меняющаяся от выборки к выборке. То есть мы имеем сумму случайных величин . Определим математическое ожидание . Все возможные значения случайных величин Xi одинаковы, одинаковы и законы их распределения. Определяются возможные значения Xi и соответствующие вероятности частотой их появления в генеральной совокупности. Отсюда следует, что все случайные величины Xi имеют одинаковые математические ожидания равные генерального среднего . Используя свойство, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий, имеем:.Таким образом, мы показали, что, несмотря на то, что различные выборки дают, вообще говоря, различные значения выборочного среднего математическое ожидание выборочного среднего, рассматриваемого как случайная величина, будет равно групповому среднему. Обычно в таких случаях говорят, что выборочное среднее есть несмещенная оценка генерального среднего.Разумеется одного свойства, что математическое ожидание выборочного среднего равно генеральному среднему, недостаточно, поскольку в случае большого разброса выборочного среднего для различных выборок значение конкретной может существенно отличаться от . При большом объеме выборки n в силу теоремы Чебышева среднее арифметическое значений случайных величин стремится по вероятности к математическому ожиданию каждой из них или, что тоже самое, к генеральному среднему. Это означает, что в выборках достаточно большого объема выборочные средние будут мало отличаться друг от друга при различных выборках (устойчивость выборки) и будут близки к генеральному среднему. Это свойство обычно называют состоятельностью выборки.Пусть совокупность (выборочная или генеральная) разбита на несколько групп. Рассматривая группу как отдельную совокупность можно ввести понятие ее средней арифметической.Определение. Групповым средним называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих группе.Для характеристики всех групп в совокупности вводят понятие общего среднего.Определение. Общим средним называют среднее арифметическое значений признака, принадлежащих всей совокупности.Общее среднее можно рассчитать как сумму групповых средних, умноженных на число объектов в группе, и полученную сумму разделить на число объектов в совокупности. Действительно пусть имеется k групп по nk объектов в каждой группе (всего объектов в совокупности ). Групповое среднее в каждой группе есть . Записав , получаем сумму всех значений признака, в совокупности деленную на количество объектов в совокупности, то есть общее среднее.Замечание. Расчет общего среднего в ряде случаев удобней проводить, разбив совокупность на группы и рассчитав предварительно групповые средние.Видеолекция «Генеральное и выборочное среднее, групповое и общее среднее»: